1.2 Demostración matemática de la impedancia de carga normalizada.

Para empezar con todo lo que conlleva la carta de Smith se hará una pequeña demostración de la impedancia de carga normalizada (ZLN) en su forma compleja con el objetivo de que se dé a conocer de dónde proviene. Esto se observa a continuación:

Primero se tiene la impedancia normalizada de la siguiente forma, siendo ZL la impedancia de la carga y Zo impedancia característica de la línea:

Se parte con el coeficiente de reflexión por voltaje (en la carga) como se observa en (2) y se acomoda de tal forma que la ecuación (1) se pueda sustituir en esta:

TL en (2) es la razón de la onda de reflexión por voltaje a la onda incidente de la carga.

Se usa las ecuaciones de Vo- y Vo+ para sustituir (2), estas dos ecuaciones se observan en (3) y (4) respectivamente:

Al sustituir (3) y (4) en (2) y queda de la siguiente forma:

Se cancelan varios elementos de la ecuación (5) como se observa en (6):

Ahora sustituimos VL el cual es la ecuación (7) en (6):

Al sustituir (6) quedaría de la siguiente forma:

Se cancela IL y el coeficiente de reflexión quedaría como se observa en (9):

Se saca Zo a factor común se cancela y se deja listo para sustituir (1) el cual es ZLN:

Ahora se obtiene el coeficiente de reflexión en términos de ZLN:

Ahora ZLN se tiene de forma compleja donde r es la resistencia normalizada y x la reactancia normalizada:

Se sustituye (12) en (11):

El coeficiente de reflexión pasa a ser complejo y se puede escribir como se observa en (15):

De (11) se puede despejar ZLN:

Sustituyendo (15) en (16) se obtiene la demostración de ZLN:

Entonces en la ecuación (17) se tiene la demostración esperada. Lo siguiente es ver el origen de la carta que se encuentra en el punto 1.3 de la página principal de Entendiendo la Carta de Smith.

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