O cálculo infinitesimal de Leibniz

1. Introdução

Leibniz era um filósofo, teólogo e matemático muito habilidoso. Seu cálculo apareceu como um método inovador por conta de sua notação intuitiva e facilidade de aplicação. Sua principal ferramenta de divulgação eram artigos para a revista alemã (a qual ele próprio era editor) Acta Eruditorum; foi nessa revista onde ele escreveu o primeiro artigo sobre cálculo diferencial em 1684. A idéia por trás de sua teoria consistia em encontrar tangentes e quadraturas; quando se falam de quadraturas, os matemáticos da época estavam falando da área de uma figura geométrica, quando se falam em tangentes, se pensa em taxa de variação. O que Leibniz almejava era um método simples capaz de descrever curvas e que não fosse impedido por quantidades “transcendentes” que poderiam surgir delas, tal como o pi. Filósofos como Descartes não consideravam possível encontrar a quadratura dessas figuras, pois seriam inexplicáveis, ou mesmo a quadratura de qualquer curva que não fosse uma aproximação. O cálculo tem a intenção de ir explicar isso; Para tanto, ele usa do conceito de infinitesimal e de um conjunto de regras matemáticas. O infinitesimal é uma quantidade infinitamente pequena, mas ainda uma quantidade; ambas as operações usadas pelo cálculo, a diferenciação e a integração, precisavam que essas quantidades infinitamente pequenas, em quantidade infinita, resultassem em um valor numérico finito. Até hoje se usa os símbolos e conceitos criados por Leibniz no cálculo. No entanto, ele mudou completamente 100 anos depois de ter sido inventado pelo matemático alemão. Ele também não foi invenção solitária de Leibniz, mas é fruto da contribuição de matemáticos brilhantes da época, e foi inventado simultaneamente com Isaac Newton. Em suma, o cálculo infinitesimal é um método inovador não só para se compreender a natureza das curvas, mas também apresenta uma nova forma de ver o infinito.

2. Exame de Teoria

CÁLCULO INFINETESIMAL (LEIBNIZ)

Escopo: Figuras Geométricas (Leibniz enfatizava muito mais o uso geométrico do cálculo diferencial e integral, tanto que todos seus pressupostos e métodos são fundados em explicações de natureza Geométrica), aplicável a objetos no mundo.

Tipo de Teoria: Matemática

Teses Teóricas Centrais:

1. As duas operações fundamentais do Cálculo — Diferencial e Integral — são inversas.

Isto é, cada uma dessas operações reverte à outra. O produto de uma diferencial pode ser revertido por uma integral[1].

2. Diferencial

Definição: o diferencial dx da abcissa x é uma quantidade arbitrária e o diferencial dy da ordenada y é uma quantidade definida que é para dx como um razão entre a ordenada e a subtangente (BOYER, 1959). Dito de outra forma, é a determinação da razão das diferenças entre as ordenadas e as abcissas, que se tornam infinitamente pequenas.

3. Integral

Definição: Integral é a soma de todos os valores de uma magnitude, ou a soma de um número infinito de triângulos infinitamente pequenos (BOYER, 1959). Dito de outra forma, é a soma de todas as ordenadas (BOYER, 1959)

Esse é um processo reverso da diferenciação. Leibniz considera esse processo uma soma, portanto aplica o símbolo ∫.

Por exemplo:

Teses teóricas periféricas:

Princípio da Continuidade (tese filosófica)

De acordo com Leibniz em uma carta escrita para o Padre Bayle em 1687, o princípio da continuidade seria: “ em qualquer transição suposta, terminando em um terminus, é possível instituir um raciocínio generalizador onde o terminus final pode ser incluído”. Parece que Leibniz considerava qualquer tipo de “transição” como um tipo de contínuo. (Bell, John L., “Continuity and Infinitesimals”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy ,2017) Leibniz defendia que essa noção tornava o cálculo válido tanto para a geometria quanto para a física, se apoiando no princípio Natura non facit saltus.

O Princípio da Continuidade se tornou necessário no cálculo porque Leibniz trabalhava, em suas teses centrais, com a noção de infinitesimais, i.e., quantidades infinitamente pequenas. Para fundamentar a lógica de seu cálculo nascente, Leibniz tomou como recurso a lei da continuidade. No cálculo, ele considera que “a diferença não é assumida como zero até que o cálculo expurgou o máximo possível omissões legítimas, e reduzido à razões de quantidades não-evanescentes, e nós finalmente chegamos no ponto onde nós aplicamos nosso resultado ao último caso” como virtude da lei da continuidade (BOYER, 1959). Também as mônadas, parte do seu sistema filosófico, são constituem o mundo em agregados de tal forma que até o menor pedaço de matéria é constituído de infinitas mônadas. Por fim, é importante observar que essa lei possui usos anteriores a Leibniz, assim como os infinitesimais, mas ele foi o autor de sua época a melhor conciliar e sistematizar os dois princípios. Na matemática, ainda se mantém o “princípio da continuidade” (de uma maneira matemática, não tão filosófica quanto a de Leibniz), mas ele é subordinado a noção de limite (fundamental pro cálculo contemporâneo) com a qual Leibniz trabalhava apenas implicitamente.

Teses (aplicações) Empíricas:

O Cálculo Diferencial não é teoria de natureza empírica. Na verdade, é mais um método que uma teoria. No entanto, esse método tem aplicações bastante relevantes:

- Encontrar a Braquistócrona:

Braquistócrona é a trajetória de um objeto que, afetado pela gravidade e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. É um problema antigo, presente desde Galileu. Mas foi Bernoulli — amigo e correspondente de Leibniz — que demonstrou matematicamente a solução do problema usando como recurso o cálculo diferencial. Leibniz, junto com Bernoulli, se encarregou de resolver esse problema, bem como Newton. A curva encontrada por Bernoulli foi um cicloide.

• A Segunda Lei de Newton foi encontrada por meio do método dos fluxions (outro método de cálculo, diferente do de Leibniz), desenvolvido pelo próprio Newton. No entanto, da mesma forma ela pode ser representada e demonstrada por meio do cálculo diferencial, como é hoje em dia. Essa lei é um dos maiores exemplos históricos de aplicação do cálculo.

Metodologia

O Cálculo é um método idealizado para encontrar tangentes e quadraturas. Nesse caso, geralmente na resolução de problemas se utiliza das ferramentas disponibilizadas pelo cálculo junto com geometria (especialmente trigonometria). Nesse contexto, o cálculo fornece algumas ferramentas:

1. Regras de diferenciação (algumas): Seja a uma constante.

2. Integração: Leibniz Descreve o processo da seguinte forma, em seu artigo para a revista Acta Eruditorum de 1686. Ele descreve esse como o método para encontrar a quadratura, i.e. a área, de curvas.

Seja x a ordenada e y a abcissa. Seja p o intervalo entre a perpendicular e a ordenada (i.e., a subnormal).

Logo,

Seguindo as regras de diferenciação

Problemas:

- Falta de uma definição satisfatória de infinitesimal

Essa foi o maior problema que afetou o desenvolvimento do cálculo no século XVIII e no final do XVII. De fato, Leibniz não consegue explicar rigorosamente, em termos matemáticos e lógicos, o que significa uma “quantidade infinitamente pequena”. Foi questionado, por exemplo, como essa quantidade que é tão próxima de zero que é quase nula pode ter um valor definido na razão dx/dy. É uma noção problemática, tanto que quando Augustin-Louis Cauchy redefiniu o cálculo diferencial, a noção de infinitesimal perdeu sua centralidade para a ideia de limite.

• Diferenciais de ordens maiores que de primeira ordem

Limite apontado por Nieuwentijdt. O cálculo infinitesimal encontra complicações e problemas quando tenta fazer um modelo para infinitesimais de ordens maiores.

Tradição de Pesquisa

Nas origens do cálculo, está o trabalho de Arquimedes de quadratura da parábola por meio do método da exaustão. Na renascença, Arquimedes foi retomado por Galileu e Cavalleri. Então, Cavalleri acrescentou a geometria dos indivisíveis. A partir de então, Fermat contribuiu com o importante método dos máximos e mínimos e Descartes foi responsável pelo plano cartesiano e origem da geometria analítica. Huygens, Wallis e Wrenn foram um dos primeiros apresentar retificação das curvas. Nicolas Mercator foi responsável por ser o primeiro a apresentar quadratura em termos de séries infinitas. Isaac Barrow foi responsável pela descoberta do triângulo característico, essencial para o método de encontrar tangentes desenvolvido por Leibniz. Por fim, Leibniz saúda Isaac Newton por seus trabalhos de geometria, ele é responsável pelo cálculo dos fluxions.

Inspirações para o cálculo segundo o próprio Leibniz, no Geometria Recondita de 1686.

Apoiadores

Irmãos Bernoulli (Jakob Bernoulli e Johann Bernoulli), John Craig.

Antecessores

Isaac Barrow, Fermat, Pascal, Cavalieri, Galileu, Nicolas Mercator, Huygens, Descartes, Arquimedes.

Alguns nomes que Leibniz dá sobre no seu artigo pro Acta Eruditorum de 1686, quando reverencia seus antecessores na construção do cálculo integral e diferencial.

Opositores

Nieuwentijdt: falta de clareza, pouco rigor na definição de infinitesimal, problemas em diferenciais de ordens maiores.

Berkeley: A noção de infinitesimal leva à contradição.

Gassendi e Bayle: Ceticismo quanto aos infinitesimais por falta de clareza.

*Newton: Não é um opositor de forma alguma do cálculo, mas o seu método rivalizou com o de Leibniz por cerca de um século. Portanto, achei justo deixar isso de adendo. São métodos diferentes, mas ambos válidos.

Fontes Bibliográficas:

The History of the Calculus and its Conceptual Development, Carl B. Boyer, 1959.

Bell, John L., “Continuity and Infinitesimals”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy ,2017.

G.W. Leibniz, Concerning A Recondite Geometry And The Analysis Of The Indivisible And The Infinite, Acta Eruditorum, 1686, Tradução de Ian Bruce, 2014.

G.W. Leibniz, A NEW METHOD FOR FINDING MAXIMA AND MINIMA, and likewise for tangents, and with a single kind of calculation for these, which is hindered neither by fractions nor irrational quantities, Acta Eruditorum, 1684, Tradução de Ian Bruce, 2014.

3. Estudo de Caso: A Curva Braquistócrona.

Diferente de um caso de explicação de um fenômeno da natureza, esse problema busca a formulação de um modelo matemático o qual, aplicado na natureza sobre as condições corretas, geraria o resultado esperado. Portanto, é o caso explicar como se dá a dedução matemática da curva. Essa curva existe num plano matemático, onde não há fricção, mas é capaz de servir de modelo para objetos móveis no mundo físico.

O Problema é enunciado no Jornal Acta Eruditorum, o qual Leibniz era editor, como um convite à todos os matemáticos capazes de resolver o problema. Dentre os convidados, estão Leibniz e mesmo Newton, que teve seu cálculo posto a prova nessa questão. O problema é enunciado da seguinte maneira:

Se dois pontos A e B são dados num plano vertical, fazer corresponder a uma partícula móvel M o trajecto AMB pelo qual a partícula, descendo sobre o seu próprio peso, passa do ponto A para o ponto B no mais curto espaço de tempo.

Não pretendo me aprofundar nos cálculos em si, mas sim nas operações que são feitas. Através da lei de conservação de energia, é possível encontrar uma equação que corresponda à velocidade v da partícula em qualquer ponto do plano. (No cálculo, se iguala energia cinética e energia potencial gravitacional).

Então, se considera que essa partícula obedece ao princípio de Fermat Lei de Snell. A Lei de Snell trata do índice de refração sofrido pela luz na passagem de um ambiente para outro, quando ocorre mudança de velocidade. Essa lei equaciona o seno dos ângulos com a velocidade da partícula. Dentro do problema, Bernoulli usa equações trigonométricas para obter a tangente do ângulo β.

• Nesse momento, se aplica uma das teses centrais. A abcissa e a ordenada de Leibniz opera em equações trigonométricas, i.e. como se tratasse de um triangulo retângulo infinitesimal. Portanto, é possível considerar que a tangente de β é a razão dos catetos, que no caso são os infinitesimais dx e dy.

Bernoulli pode reverter essa razão de volta ao formato de tangente. Após fazer isso, é possível substituir a tangente por cosseno por meio de relações trigonométricas e encontrar o valor de y. Após encontrar o valor de y, Bernoulli substitui o y na equação com os diferenciais.

Dada essa equação, Bernoulli a integra com o objetivo de achar o valor de x. São usadas alguns princípios fundamentais e regras de integração, tal como

, e outras regras que dizem respeito a integração de senos, cossenos e tangentes. Vale ressaltar que está sendo aplicado o princípio da relação inversa das duas operações, bem como as regras de integração.

Por fim, se encontra o Valor de x e de y na equação depois de simplificar as equações pertinentes ao valor de X e de Y. Conclui-se que essa curva é uma cicloide, i.e., é a trajetória de um ponto numa circunferência de uma roda, descendo sobre o eixo x.

Fonte: G. Simmons, Differential equations with applications and historical notes, McGraw Hill, NY, 1072.

4. Falseabilidade

A explicação, ou melhor, demonstração da braquistócrona é falseável. Em termos matemáticos, a demonstração não precisa de uma experimentação para ser considerada válida. Afinal, essa experimentação só mostraria que nessa curva a trajetória é mais rápida que todas as outras curvas conhecidas e experimentadas, mas não demonstraria que essa é a melhor possível de fato e com certeza absoluta. Isso se dá porque a matemática trabalha em termos dedutivos, por isso suas provas não se fazem por meio de experimentação, mas sim por meio de rigor nas definições e nas operações que conduzem à prova.

No entanto, a braquistócrona nunca se resumiu a um problema matemático. É um problema da física, e, portanto, merece ser sujeita à experimentação. As experiências comprovam que essa curva é a distância mais veloz que essa partícula pode percorrer, mas se deve levar em conta, nos cálculos, a fricção excluída na matemática. Assim, acontece que ela não é em todos os casos a trajetória que gasta o menor tempo. Mas isso não tira sua validade; pois se trata de um modelo matemático, modelos matemáticos simulam e podem prever fenômenos, mas nem sempre se é possível calcular todas as variáveis e se ter exatidão perfeita.

5. Realismo ou antirrealismo?

São possíveis muitas interpretações a respeito do cálculo. Bernoulli acreditava que os infinitesimais existiam, mas Leibniz escreveu várias vezes que eles não passavam de uma ficção útil (BOYER, 1959). No entanto, a posição de Leibniz a respeito do assunto é muito incerta, por mais que ele fale em algumas correspondências e no tratado de teodiceia sobre os infinitesimais como algo ficcional, em outras cartas ele assume um tom diferente. Além disso, sua noção de cálculo está profundamente conectada com a doutrina das mônadas que são as unidades que constituem a realidade (MATEMÁTICA E METAFÍSICA EM LEIBNIZ, William de Siqueira Piauí).

Nesse contexto, considero, como Boyer, que Leibniz e o cálculo são uma tendência mais antirrealista. Mesmo que o cálculo se aproxime do processo psíquico-metafísico da percepção na monadologia, e tenha sua validade comprovada e assegurada por Leibniz, isso não diz respeito à sua realidade. O cálculo é uma ferramenta, profunda e importante para o estudo do infinito em Leibniz, mas ele próprio parece considerar essas reflexões matemáticas de maneira até instrumentalista em certos momentos. Por fim, essa parece ser a postura que perdurou a respeito do cálculo.

6. Ideal de Ordem Natural

Em um contexto matemático, a maior parte das situações do mundo parecem estar sujeitas à explicação, no sentido físico-matemático. Até coisas muito simples, como a força exercida para se manusear qualquer objeto, pode ser descrito em termos de cálculo diferencial. Considerando a segunda lei de newton, a maior parte de nossos movimentos estão associados com o cálculo diferencial, mas não requerem qualquer tipo de explicação. Um exemplo pode ser a bola de futebol, que um jogador chuta rasteira.

Para ser mais Leibnziano, podemos considerar o intervalo de tempo de um dia. Nesse dia, há infinitos intervalos de tempo entre cada um dos intervalos. Logo no primeiro segundo do dia, se passou meio segundo, um quarto de segundo, etc. É o princípio da continuidade que consegue conciliar esses momentos infinitamente pequenos de tempo com a passagem de um intervalo completo de um dia.

[1] Isso é relevante, pois foi encontrado vários métodos análogos às duas operações fundamentais em matemáticos antecessores de Leibniz e Newton. No entanto, só em ambos uma operação é a inversa da outra, abrindo caminho para um ramo da matemática completamente novo (BOYER).