Introdução à Séries Temporais: Processos Estocásticos e Estacionariedade

Em um mundo cada vez mais orientado por dados, entender os conceitos fundamentais de séries temporais tornou-se essencial para profissionais de diversas áreas, como economia, estatística e ciência de dados. Entre esses conceitos, destaca-se o de processos estocásticos, que fornecem a base para modelar e prever fenômenos que variam ao longo do tempo. Este artigo tem como objetivo explorar os aspectos essenciais dos processos estocásticos, a distinção entre séries estacionárias e não estacionárias, e as implicações práticas desses conceitos em análises de séries temporais.

Um processo estocástico pode ser entendido como uma coleção de variáveis aleatórias ordenadas no tempo. Em séries temporais, podemos dizer que a variável observada é um processo estocástico e os valores reais dela em um período determinado são realizações particulares desse processo. Em outras palavras, um processo estocástico é como uma “máquina” que gera dados ao longo do tempo de forma aleatória, mas com certas regras ou padrões que podem ser analisados.

Prcoessos estocátiscos estacionários e não estacionários

Um processo estocástico será considerado estacionário se a média, variância e autocovariância forem constantes ao longo do tempo. Em outras palavras, a média não apresenta tendências de aumento ou diminuição, a variância não se altera com o passar do tempo, e a autocovariância entre dois pontos da série depende apenas da distância entre eles (o chamado “defasamento” ou lag), e não do momento específico em que são observados. Por exemplo, imagine uma série temporal que representa o preço de um produto ao longo de vários anos. Se houver uma tendência crescente no preço devido à inflação, isso indica que a série não é estacionária.

O processo estocástico puramente aleatório, ou ruído branco, é considerado o caso mais simples de uma série temporal. Ele apresenta média zero, variância constante ao longo do tempo, e seus valores em diferentes momentos são independentes entre si, ou seja, não existe qualquer relação entre os valores passados e futuros. Em termos práticos, um processo de ruído branco é imprevisível porque não segue nenhum padrão ou tendência. Embora o ruído branco seja útil como ponto de referência, ele raramente aparece de forma isolada em dados do mundo real. No entanto, muitos modelos de séries temporais utilizam o conceito de ruído branco para descrever a parte imprevisível dos dados após remover tendências, sazonalidades ou outros padrões sistemáticos.

Do contrário, quando um processo é não estacionário, isso significa que ele não tem um comportamento estável ao longo do tempo. A média pode apresentar uma tendência de crescimento ou queda, como em séries financeiras onde os preços frequentemente mostram aumento ou diminuição ao longo dos anos. Já a variância pode mudar, indicando que a dispersão dos dados se altera em diferentes períodos, o que é comum em séries como a volatilidade de mercados financeiros, por exemplo. Essas mudanças tornam os processos não estacionários mais difíceis de analisar diretamente, pois as relações entre os dados não permanecem consistentes.

Modelo de Passeio Aleatório

Um exemplo clássico de processo estocástico não estacionário é o modelo de passeio aleatório, ele descreve uma sequência em que o valor atual é igual ao valor anterior somado a um termo aleatório. Em termos práticos, o melhor “palpite” para o valor futuro (Yt) é o valor atual (Yt-1). A natureza de não estacionariedade desse tipo de fenômeno ocorre da soma cumulativa de valores aleatórios, o que faz com que a variância aumente continuamente. Podemos distinguir dois tipos de passeio aleatório: passeio aleatório sem deslocamento (sem termo constante ou intercepto) e passeio aleatório com deslocamento (em que um termo constante está presente).

O passeio aleatório sem deslocamento descreve um processo estocástico em que cada valor da série é obtido somando-se um termo aleatório ao valor anterior, sem qualquer tendência fixa para cima ou para baixo. Pode ser expresso matematicamente como:

Logo, o valor de Y no tempo t é igual ao seu valor no tempo t-1 mais um choque aleatório.

No passeio aleatório com deslocamento além do termo aleatório, há um componente fixo, chamado deslocamento ou “deriva”, que representa uma tendência constante de crescimento ou declínio ao longo do tempo. Na definição matemática:

O modelo de passeio aleatório é um exemplo do que é conhecido na literatura específica como processo de raiz unitária que é um tipo de série temporal não estacionária em que os valores atuais dependem fortemente dos valores passados, criando uma relação de persistência ao longo do tempo. O termo “raiz unitária” refere-se a uma característica matemática de processos autoregressivos (AR), onde o coeficiente de relação entre Yt e Yt-1 é igual a 1. No contexto de um modelo autoregressivo de ordem 1, o AR(1), o processo pode ser escrito como:

Se ρ < 1: o processo é estacionário.

Se ρ = 1: a equação é um modelo de passeio aleatório (sem deslocamento) e encontramos o que é conhecido como problema de raiz unitária, isto é, uma situação de não estacionariedade, pois já sabemos que, nesse caso, a variância de Yt é não estacionária.

Se ρ <1: oprocesso é explosivo (não estacionário, mas com crescimento exponencial).

Problema da Raíz Unitária

Na prática, por conseguinte, é importante descobrir se uma série temporal possui uma raiz unitária. Um teste de estacionariedade (ou não estacionariedade) amplamente popular é o teste de raiz unitária. O ponto de partida é o próprio processe de raiz unitária, manipulando-se a equação para obter:

e assim, tomar as primeiras diferenças de Yt, fazer a regressão dessas em Yt-1 e ver se o coeficiente angular estimado é zero ou não. Para descobrir isso utiliza-se o teste Dickey-Fuller. O teste DF é testado sobre três diferentes hipóteses nulas:

• Hipótese nula (H0): há uma raiz unitária, ou a série temporal é não estacionária ou ela possui uma tendência estocástica.
• Hipótese alternativa (H1): a série não possui uma raiz unitária e é estacionária.

Sob a hipótese nula de que δ = 0, o valor estimado t do coeficiente de Yt-1 segue a estatística τ (tau).

• Se o valor crítico de tau computado for menor do que estimado, rejeita-se a hipótese nula (a série temporal será estacionária).
• Se o valor crítico de tau computado for maior do que estimado, não rejeita-se a hipótese nula (a série temporal será não estacionária).

Se verificarmos que a série em que estamos trabalhando apresenta não estacionariedade precisamos trabalhar para torná-la estacionária, a fim de evitar o problema da regressão espúria que pode surgir da regressão de uma série temporal não estacionária em uma ou mais séries temporais não estacionárias. O método de transformação depende de as séries temporais serem diferença estacionária (DE) ou a tendência estacionária (TE).

1. Séries diferença estacionária (DE): a não estacionariedade pode ser eliminada ao tomar as primeiras diferenças da série temporal.
2. Séries tendência estacionária (TE): tornam-se estacionárias ao remover a tendência subjacente.

Se uma série temporal precisar ser diferenciada d vezes para tornar-se estacionária, denominamos essa série como integrada de ordem d.

Compreender processos estocásticos e sua relação com a estacionariedade é um passo crucial para o sucesso na análise de séries temporais. Esses conceitos fornecem ferramentas para enterdermos a natureza da série temporal, identificar padrões, modelar fenômenos para realizar previsões confiáveis.

Referência Bibliográfica

GUJARATI, Damodar N.; PORTER, Dawn C. Basic Econometrics. 5th ed. New York: McGraw-Hill Companies, Inc., 2008. ISBN 978–0–07–337577–9.