Matematiğin Kaderini Değiştiren Eser: Elemanlar

Kaostan Düzen Oluşturmak. (Gemini ile üretilen bir görsel.)

Hiç düşündünüz mü, bir şeyi nasıl kanıtlayabiliriz diye? Ben bunu düşündüğüm zaman fark ettiğim şöyle bir durum olmuştu: Bizim bir şeyi kanıtlayabilmek için önce doğruluğunu kabul ettiğimiz bazı şeyler olmalı.

Bir binayı 10. kattan inşa etmeye başlayamazsınız; önce temeli atmanız gerekir. Temel, binanın geri kalanını kanıtlayan şeydir ama temelin kendisi toprağa dayanır. Matematikte de durum böyledir; doğruluğunu ‘sorgusuz sualsiz’ kabul ettiğimiz o ‘toprak’ parçalarına ihtiyacımız vardır. Ancak antik çağda bu zemin henüz bu kadar sağlam atılmamıştı.

O dönemde pek çok yerde olduğu gibi Antik Yunanistan’da da matematiğe dair şeyler bilinirdi. Fakat bu bilgiler, Elemanlar adlı eserin yazılışına değin sistematik bir şekilde ilerlemiyordu.

Öklid’in Elemanlar Eserinin Bir Papirüs Üzerindeki Görünümü.

Bir insan bir üçgeni oluşturmak için gerekenleri bilebilirdi, fakat bu bilişin arkasındaki net deliller anlatılmazdı; öğrencinin bildiği varsayılırdı. Bu probleme mantıkta Totoloji (Kısır Döngü) deniliyor. Hatta bir örnek olması açısından, Öklid’in Elemanlar kitabı yazılmadan önce bir üçgenin nasıl tanımlandığına bakalım:

1. Üçgen üç kenarlıdır.
2. Kenarları üç tane olandır.
3. Üç kenarın birleştiğidir.

Yukarıdaki anlatıyı düşündüğümüz zaman, aslında hiçbir şeyin kanıtlanmadığını görürüz. Sistematik bir yapı olmadığı için tanımlar kendini tekrar eden, bir süre sonra döngüye giren cümlelerle aktarılırdı. “Üçgen üç kenarlıdır” tanımı aslında bize üçgenin ne olduğunu söylemez, sadece ismini tekrar eder. Öklid’in devrimi; bir şeyi tanımlarken, henüz tanımlanmamış hiçbir kavramı kullanmama disiplinidir. Bu, modern bilgisayar programlamasındaki “dependency” (bağımlılık) mantığının atasıdır.

Peki, neden bu kadar kısır anlatılar vardı?

Bunun bir sebebi, matematiksel bilginin o dönemlerdeki kıymetinin çok yüksek olmasından ötürü daha fazla insana aktarılmasının istenmemesiydi. Çünkü antik çağda matematik biliyorsanız; tarlaların sulanması, tahılların doğru oranda karıştırılması, arazilerin dağıtılması gibi konularda söz hakkı olabiliyorsunuz. Bu da sizi sınıfsal olarak halktan daha üst bir konuma koyuyor. Mısırlı rahiplerin veya antik arazi ölçücülerinin (Harpedonaptai), Nil Nehri taştığında sınırları belirlemek için geometriyi “gizli bir sanat” olarak kullandıklarını biliyoruz.

Nil Nehrinin Ölçümünü Yapan Rahipler.

Öklid ise bunu evrensel, herkese açık ve denetlenebilir bir mantık dizgesine dökerek bilimi “demokratikleştirmiştir”. Bir nevi Elemanlar eseri, bilginin “büyü” olmaktan çıkıp “mantık” haline gelmesidir.

Antik Mısır’da Arazi Ölçücülerin Kullandığı El Aleti.

Öklid bu durumun kısırlığını fark etmiş olacak ki, Elemanlar adı verilen o meşhur kitabı tasarladı. Kitabın ilk varsayımı, bir şeyi kanıtlayabilmek için belli öncüllerin kabul edilmesi gerektiğiydi.

Örneğin; nokta nedir, kenar nedir, alan nedir, sınırlar nelerdir? Bunları bilmeden bir üçgeni tanımlamak mümkün değildir.

Öklid, Elemanlar eserini 13 kitabın derlenmesi şeklinde tasarlamış. İlk kitabının başında 23 adet tanımlama, 5 adet postüla ve 5 adet genel kanı kabul ederek, o tarihte bilinen geometrik şekilleri detaylı bir biçimde tanımlamıştır.

Öklid’in tanımları şu şekilde birbiri üzerine inşa edilerek gitmektedir:

1. Nokta, herhangi bir kısmı olmayandır.
2. Çizgi, eni/genişliği olmayandır.
3. Çizginin sonu noktalardan oluşmaktadır.
4. Düz çizgi (Doğru), üzerindeki noktalara göre eşit/oranlı durandır.

Fark ettiyseniz burada “Çizgi” tanımında genişlik ve uzunluk kavramları geçiyor fakat “Nokta” geçmiyor. Çünkü nokta daha önceden tanımlandı. Çizginin sonunu tanımlayabilmek için ise önceki “Nokta” tanımı kullanıldı. Her şey en basitten en karmaşığa doğru, hayatın kendisi gibi tane tane örülüyor.

Bu ilerleyişin en büyük katkısı ise hiç şüphesiz bilimsel düşüncenin ilk biçiminin oluşmasıdır. Öklid sadece geometri yapmadı; insan aklına ‘Düzenli Düşünme Yazılımı’nı (Algoritma) yükledi. Bugün yazdığımız kodlarda, hukuk sistemimizde ve felsefede hala Öklid’in kurduğu “Öncül -> Sonuç” mimarisini kullanıyoruz. Öncüller birbiriyle iletişim kurarak daha karmaşık sonuçlara varıyor.

Günümüzde Öklid’in Elemanlar eserini, TÜBİTAK Yayınevi’nden Ali Sinan Sertöz hocanın Yunanca aslından çevirisiyle edinmek mümkündür.

TÜBİTAK yayınlarından Elemanlar’ın tam çevirisi.

HSD KTO olarak yazımızı okuduğunuz için teşekkür ederiz.

Bu yazının yazarları: A. Yahya Şirin, LinkedIn @ayahyasirin13

Kaynaklar:

https://www.thethinkacademy.com/blog/edubriefs-how-ancient-egypt-invented-geometry/

[embed]The oldest diagram from Euclid One of the oldest and most complete diagrams from Euclid's Elements of Geometry is a fragment of papyrus found among…personal.math.ubc.ca

[embed]Harpedonaptai, the Indispensable "Rope Stretchers" of Ancient Egypt In the long and fascinating history of Ancient Egypt, there were figures without whom many monumental and artistic…www.labrujulaverde.com

https://yayinlar.tubitak.gov.tr/yetiskin-kitapligi/1127-oklidin-elemanlari.html