Matemática de alto relieve

En el año 2023, un grupo de artistas me invitó a escribir un texto para su nueva obra. La ocasión era muy especial: se cumplían cien años de la publicación de Fervor de Buenos Aires, primer libro del escritor argentino Jorge Luis Borges. Como matemático, estoy acostumbrado a que mis escritos no tengan demasiada visibilidad: ¿cuántas almas en este mundo están dispuestas a bucear en un artículo sobre ecuaciones diferenciales no lineales? Sin embargo, esta vez el asunto debía entenderse de manera absolutamente literal, ya que el texto no estaba destinado a ser visto sino palpado. La obra en cuestión consistió en un libro-objeto, que incluye una selección de poemas escogidos de aquel centenario fervor y mi humilde texto, a modo de prólogo. El proyecto estuvo a cargo del equipo coordinado por Juan Pita y Betina Tagliani; el resultado fue un único ejemplar titulado Fervor de Buenos Hápticos, que se percibe enteramente a través del tacto y fue presentado en la Feria del Libro Antiguo de Buenos Aires.

Tuve el placer de participar de aquella singular presentación, una experiencia que no me atrevo a llamar “de lectura” aunque, a todas luces, se trató de un hecho artístico. O, mejor dicho, a todas sombras, ya que los lectores videntes debían, antes de recorrer las páginas, ponerse una venda en los ojos a fin de permitir a los dedos una exploración incontaminada de otras imágenes sensoriales. Lo que escribí estaba allí, como se espera de un prólogo, al comienzo: ¡mi primera publicación en Braille! Pocos meses más tarde, Fervor de Buenos Hápticos fue donado a la Biblioteca Argentina para Ciegos, entre cuyos borgeanos anaqueles se encuentra actualmente. Participé también del acto de entrega y fue otro placer, en todos los sentidos (una vez más, literalmente). Entre nuevas aventuras táctiles, alguna copa de vino y una versión musicalizada del poema El Golem, tuve ocasión de conversar sobre la matemática y su enseñanza para personas ciegas. Tal es el origen de este artículo; en lo que sigue, se entrelazan algunas reflexiones actuales con fragmentos de aquel prólogo, cuya versión completa puede encontrarse aquí.

El mencionado grupo de artistas se llama Territorio háptico, nombre que amerita una explicación: se entiende por percepción háptica al tacto activo ampliado a todo el cuerpo, incluyendo las sensaciones cinéticas. El libro es, en efecto, un territorio que no solo contiene selecciones de los poemas traducidas (mejor dicho, transliteradas) al sistema Braille, sino también paisajes táctiles que reproducen la atmósfera en que dichos poemas transcurren, una Buenos Aires de comienzos de siglo que aún combina escenas urbanas con arrabales camperos.

En este punto, es oportuno preguntarse por qué encomendar el prólogo de un libro así a alguien cuya arte es la matemática: ¿qué sentido tendría un texto mío en el marco de esta obra? Por supuesto, es casi tautológica la referencia a Borges, presencia casi inevitable en mis textos de divulgación. Pero además, en este caso, no se trata solamente de su relación con la matemática sino también con la ceguera. Cuando me presentaron el proyecto, lo primero que me vino a la cabeza fue la figura de Leonhard Euler, uno de los más extraordinarios matemáticos de todos los tiempos, a quien la falta de visión no impidió continuar desarrollando su prolífica producción. Se puede aducir que, como Borges, el gran Euler recién se volvió ciego en su edad madura; en cambio Nicholas Saunderson, matemático inglés, perdió la vista a la temprana edad de un año, cuando su concepción geométrica del mundo no estaba seguramente muy consolidada. A él dedica el filósofo Denis Diderot una buena parte de su Carta sobre ciegos, publicada en 1749, donde describe con cierto detalle un método diseñado por Saunderson para efectuar cálculos aritméticos mediante alfileres dispuestos sobre una cuadrícula plana. Diderot destaca, con buenas razones, que poseemos signos tanto para el ámbito visual como para el auditivo, lo que transforma la comunicación en algo muy cómodo. Sin embargo, la cosa se le complica a quienes perciben con las yemas de los dedos:

¡Cuánto mejor hubiera sido para Saunderson haber encontrado una aritmética palpable, ya preparada, cuando tenía cinco años, en vez de tener que imaginarla a los veinticinco!

Más notables que la destreza aritmética son sus consideraciones respecto de la geometría, cuya dependencia de la imagen visual parece innegable. Dice Diderot:

Para un ciego que no es ni mucho menos geómetra, la línea recta no es más que la memoria de una sucesión de sensaciones del tacto, situadas en la dirección de un hilo tenso; una línea curva, la memoria de una sucesión de sensaciones del tacto, referidas a la superficie de algún cuerpo sólido, cóncavo o convexo.

Bajo este (por así llamarlo) punto de vista, el pensador francés recorre la obra de Saunderson en busca de indicios de lo que va a entender como filosofía idealista:

[…] esos elementos de geometría hechos a su manera son una obra mucho más singular en sí misma y mucho más útil para nosotros. En ella, hemos encontrado las definiciones del punto, de la línea, de la superficie, de lo sólido, del ángulo, de las intersecciones, de las líneas y de los planos, donde no dudo que haya empleado los principios de una metafísica abstracta muy cercana a la de los idealistas.

Más allá de todas estas consideraciones filosóficas, hay diversos asuntos matemáticos involucrados en los mecanismos táctiles de escritura. El sistema desarrollado por Louis Braille a mediados del siglo XIX vino en reemplazo de otro, ligeramente tosco, que consistía en letras comunes y corrientes, pero dispuestas en relieve. Es destacable el hecho de que Braille concibió tal escritura desde su rol de educador, que siempre nos desafía en la búsqueda de formas eficaces de transmisión. ¿En qué consiste? Se trata simplemente de una constelación de puntos que se agrupan para formar bloques de seis, los Signos Generadores. Cada uno de estos bloques contiene dos columnas de tres puntos o, mejor, de tres posiciones en las que se puede eventualmente colocar o no un punto, entendido como punto táctil. De esta forma, el Braille constituye un sistema binario de escritura: en cada una de las 6 posiciones puede haber o no un relieve; la variedad de las posibles combinaciones de presencias y ausencias da lugar a los 64 (es decir, 2 elevado a la sexta potencia) signos generadores. He aquí dos ejemplos, que corresponden respectivamente a las letras z y t:

La idea, claro está, tiene varios antecedentes; el más cercano se debe a un capitán del ejército y aventurero francés llamado Charles Barbier, interesado en la codificación de lenguajes con fines militares. En las primeras décadas del siglo XIX creó la Escritura Nocturna, cuyo poético nombre esconde simplemente la intención de que los oficiales pudieran transmitir mensajes de manera silenciosa y sin necesidad de la luz. El principio es el mismo que más tarde adoptaría Braille quien, en rigor, tuvo como maestro al propio Barbier. Cuenta la historia que este, tras presentar su sistema, comprendió que serviría para el aprendizaje de las personas ciegas y se dedicó a enseñarlo.

Pero podemos ir mucho más atrás. En el aspecto táctil, hay señales palpables de escritura ya en el siglo XIII, cuando un librero ciego llamado Al-Imam Al-Amadi desarrolló su propio sistema. Y en el segundo aspecto, el binario, se puede retroceder aún veinticinco siglos más, hasta dar con otro arreglo organizado de presencias y ausencias agrupadas de a seis. Se trata del I Ching o libro de las mutaciones, cuyos hexagramas se componen de dos clases de trazos: enteros y quebrados. Al igual que en el sistema Braille, los signos así generados son 64 y se presentan ordenados de distintas maneras. La más famosa es la llamada secuencia del rey Wen, cuyo criterio lógico permaneció inexplicado por muchos siglos, hasta que en un artículo de 2006 se dio una presunta justificación basada en la combinatoria. Hay que decir que la cantidad de posibles ordenamientos es enorme; en principio, nada menos que el factorial de 64. Sin embargo, es fácil detectar a simple vista unas cuantas regularidades en la famosa secuencia, hecho que descarta la posibilidad de una configuración azarosa. La más evidente es el hecho de que los hexagramas aparecen de a pares, en los que el segundo es una inversión del primero, vale decir: es el mismo conjunto de trazos, pero ahora leídos de abajo hacia arriba. Esto a menos que se trate de un hexagrama “capicúa”, en cuyo caso lo que se invierte es el tipo de trazo; donde había una línea entera ahora ponemos una quebrada, y viceversa. Esto reduce bastante el número de combinaciones pero, aún así, todavía nos queda una disposición lo suficientemente enigmática como para entretenernos por unos cuantos siglos en la búsqueda de alguna clave:

A modo de prólogo dentro de un prólogo, en mi texto de 2023 evoco el que Borges escribió justamente para una edición del I Ching, donde se puede encontrar un soneto que comienza así:

El porvenir es tan irrevocable

como el rígido ayer. No hay una cosa

que no sea una letra silenciosa

de la eterna escritura indescifrable

cuyo libro es el tiempo.

Como la matemática, la poesía desmenuza las formas del decir; como los hexagramas, la escritura táctil desmenuza el alfabeto y lo transforma en territorio. En su manifiesto para la poesía concreta, el artista alemán Kurt Schwitters dice: el material básico de la poesía no es la palabra sino la letra. Pero, ¿qué podría ser más concreto que un texto en Braille? El material ahora no es siquiera la letra, sino el relieve, un relieve que se bordea, se recorre con las yemas y nos atraviesa desde la huella. Esta nueva materialidad del deletreo trae a escena una expresión que, en este contexto, nos lleva por tercera vez a la más completa literalidad: el peso de las palabras. Poesía escrita en Braille o quizá -parafraseando ahora a Irene Vallejo-: el infinito en un punto.

A modo de nota final, cabe preguntarse: ¿hay un sistema Braille para la matemática? Es una cuestión que excede la enseñanza, ya que en toda actividad matemática la escritura juega un papel central. Y también es una cuestión compleja, puesto que los avatares de la escritura matemática producen nuevos territorios, mucho más vastos que la mera combinatoria. Al igual que ocurre con la música, se han encontrado formas muy notables de expresar mediante el tacto aquello que, en primera instancia, parece tan difícil de transmitir. Aunque, en el fondo, esto no debería ser tan sorprendente: al fin y al cabo, los dedos forman parte esencial de nuestras primeras experiencias matemáticas. Rastros de ello pueden encontrarse en el lenguaje: en inglés, por ejemplo, eleven y twelve provienen de las expresiones one left over y two left over, que revelan, además, el origen antropomórfico de nuestro sistema de numeración. Pero la matemática en Braille es, claro está, mucho más que eso y, de acuerdo con Galileo, nos abre la puerta al universo. He leído la frase del célebre físico cientos de veces aunque, hasta ahora, no había reparado en ella la preeminencia de lo visual, más que significativa para alguien que también culminó sus días ciego:

La filosofía está escrita en ese grandísimo libro que tenemos abierto ante los ojos, quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en oscuro laberinto.

Así como hemos aprendido a contar con los dedos, nunca es tarde para aprender también a leer con ellos los múltiples aspectos que la matemática tiene para mostrarnos. Aspectos que sin duda son relevantes, en el más preciso sentido del término.

*Texto adaptado del artículo aparecido en *Didáctica sin fronteras (2024), disponible en este enlace.