Tarihte Sayılar ve Sayı Sistemlerinin Oluşumu

Bir önceki yazımızda ilk sayma girişimlerinden bahsetmiş ve tarım devrimi ile beraber insanoğlunun genel olarak saymaya ihtiyaç duyduğunu belirtmiştik. Kemiğe çentik atarak her bir çentik bir nesneyle eşlendiği taktirde buna eşleme yoluyla sayma diyoruz. Benzer şekilde, 20 çuval buğdayın varsa ve her bir çuvalı bir çakıl taşı ile eşlersen bir hafta sonra eve döndüğünde çuvallar eksik mi saymak için çakıl taşlarını cebinden çıkarıp tekrar her bir çuvalla eşleyebilir ve kaç çakıl taşına karşılık gelen çuvalının eksik olduğunu anlayabilirsin.

Yerleşik hayat ve tarımla beraber insanoğlun borç ve takas ihtiyacı da artmaya başladı. Sümerler, bunu kolaylaştırmak için zarf, mühür anlamına gelen “bulla” olarak isimlendirdikleri topları kullandılar.

Resim1 : Alışveriş, takas, borç gibi ihtiyaçlar için kullanılan Sümer bullaları, Resim kaynağı: Pinterest

Peki nasıl kullanıldı bu bullalar? Bir takas sırasında aldığı mal karşılığında veya birisine borç vermek için belirli bir sayıda koyun ödemeyi kabul eden bir Sümerli, bunun teyidi için alışveriş sırasında bullaya belirlenen miktarda taş atar ve bulla mühürlenir. Sonrasında ödeme yapılacağında, koyunlar ulaştığı zaman mühür kırılıp içerisindeki taşlarla koyunların eşleştiği teyit edilir [1,5].

Eşleme ile sayma bir noktaya kadar insanoğluna yetti ancak tarım devrimi ile beraber medeniyetler hızla büyüdü. Tarlalarca buğdayın ekilip bakılması için onlarca insana ihtiyaç vardı. Avcı toplayıcı insanlar yavaş yavaş yerleşik hayata geçip, avlamak toplamak yerine buğdaydan yapılmış yiyeceklerle karınlarını doyurmaya başladılar. İnsanlar göç etmeyi bıraktığı için doğum oranları da oldukça arttı [3]. Medeniyetler büyüdükçe eşleme yöntemi ile sayma yetmemeye başladı, çünkü insanların ve mahsullerin kayıt altına alınması da gerekiyordu.

Her bir taşın bir mal ile eşlenmesi yerine taşların birbirinden ayırt edilmesi ve her birinin şekline göre farklı bir anlama gelmesi bu problem için bulunan tarihteki ilk çözüm oldu. İnsanlar kile şekil vererek çok sayıda nesnelerin yerine geçen jetonlar yapmaya başladılar. Bir taş artık bire değil 60'a hatta 3600'e bile denk gelebiliyordu.

Resim 2: Çivi yazısı öncesi sayma için kullanılan şekiller. Resim Kaynak: Kendim, ancak şuradan esinlenildi : wikimedia commons

Sümerler bu işaretler ile dört işlem de yaptılar. Örneğin bir toplama işlemi yapılacaksa birbirine toplanan taşlar bir araya getirilir ve taşlar belirli bir sayıyı geçtikten sonra bir üst seviyeye ait jetonla değiştirilir ki en sade formuna olsun. Resim 3de ilk ve ikinci satırdaki sayıların toplanmasını anlatmaya çalıştım. Burada şu an bildiğiniz sayıları unutup, şekillere odaklanarak takip etmeye çalışabilirsiniz.

Resim 3: Sümer çivi yazısı öncesi sayı sistemi ile toplama işlemi.

Çıkarmada da benzer şekilde elindeki jetonlardan diğer sayı kadar kadar jeton çıkarılır. Çarpma işleminde öncelikle Resim 2 ye bakabilirsiniz. Sümer çivi yazısı öncesi kullanılan bu işaretlerde aslında temel olarak 2 işaret var, koni ve çember. Bunlar büyük veya küçük, delikli olup olmamasına göre farklı şekilde değerleniyor. Eğer büyük koniyi veya büyük çemberi 10 ile çarpmak istiyorsan ortasını delmen yeterli. Veya küçük çemberi 6 ile çarpmak istiyorsan bir büyük koni ile değiştirmen yeterli. Bu işlemler büyük sayıların çarpımında da efektif olarak kullanılmış Sümerliler tarafından.

Resim 4: Sümer çivi yazısı öncesi sayı sistemi ile çarpma işlemi, Kırmızı çizgi içerisinde kısım tam kısım, biriktirilmek üzere kenara ayırılır. Kırmızı çizgi dışında kalanlar ile işleme devam edilir. Bir koniyi 10 ile çarpmak için delmek yeterlidir.

Bir Sümerli gibi düşünmek için sayıları unutun. Sümer devlet memurusunuz ve bir küçük çember bir küçük koni kadar kişi olan bir toplulukta bu ay kişi başı 5 büyük koni ve bir küçük çember kadar buğday vergi toplayacaksınız. Bu ay ne kadar vergi geliri elde edeceksiniz?

Bu işlemi bir Sümerli memur resim 4 teki gibi yapabilir. 11 i (10+1) gibi düşünerek önce küçük çember ile çarpacak, bunun için büyük konilerin ortasını delmesi yeterli. Küçük çember içinse 10 tane yan yana yazıp 6 tane küçük çember bir büyük koni ile değiştirebilir.

Resim 5: Sümer çivi yazısı öncesi sayı sistemi ile çarpma işlemi, Kırmızı çizgi içerisinde kısım tam kısım, biriktirilmek üzere kenara ayırılır. Kırmızı çizgi dışında kalanlar ile işleme devam edilir. Bir koniyi 10 ile çarpmak için delmek yeterlidir.

Veya daha zeki bir Sümerli memur benzer ama daha zor bir işlemi Resim 5 teki gibi şu şekilde çözebilir. Önce koni olan kısımları (solda) şekildeki gibi hızlıca halleder. Sonrasında 3 tane küçük çember içinse 11 i (6+5) şeklinde ayırabilir.

Bölme için ise örneğin Resim 6 nın üst satırındaki sayının 4 e bölüneceğini düşünün. Önce bu jetonları 4 satırda gruplandırırız.

Resim 6: Sümer çivi yazısı öncesi sayı sistemi ile bölme işlemi, Kırmızı çizgi içerisinde kısım tam kısım, biriktirilmek üzere kenara ayırılır. Kırmızı çizgi dışında kalanlar ile işleme devam edilir. Yeşil kutu içerisindeki bölme işleminin kalanı olarak değerlendirilir.

Tamamlanan her bir sütun artık o işlemden çıkar ve kenara ayırılır. Artık kalan sütunlarla işlem yapılır. 2 tane büyük koni 12 tane küçük çembere parçalanabilir ve tekrar 4 satıra dağıtılır. Eksik kalan sütunlar içinse tekrar bir parçalama yapılır; 1 tane küçük çember yerine 10 tane küçük koni kullanabilir. Kırmızı kare içerisinde kalanlar tam bölünüp bir kenara ayırılan jetonlar. Bölme işlemi tam yapılamadığı içinse yeşil kutu içerisindeki kısım bu bölme işleminden kalandır.

Birkaç yüz yıl boyunca çivi yazısı bulunana kadar da bu semboller kullanıldı. Bu hesaplamalar 60 lık sistemin temelini teşkil ediyor. Peki niye 60'lık sistem kullanıldı? Bu sorunun da kesin cevabı yok ancak bazı cevaplar mevcut. Her şeyden önce birçok sayıya bölünebildiği için işleri biraz kolaylaştırıyor: 2,3,4,5,6,10,12,15,20,30. İkinci olarak da astronomik takiplerdeki ölçüler 60'ın katı olduğu için bu çok cazip. Bugün biz de saati hesaplamak için 60 lık sistemi kullanıyoruz. 60 saniyeyi 1 dakikaya, 60 dakikayı 1 saate eşit kabul ederek, saat sorulduğu zaman birbirimize 60lık sistemde cevap veriyoruz. Bir diğer cevapsa parmakla sayma şeklinden dolayı bu sistemin tercih edildiğini söylüyor. Sümerliler döneminde sayma işleminin Resim 7 de gösterildiği şekilde yapıldığı düşünülüyor, baş parmak hareket etmek üzere resimdeki gibi 1 den 12 ye kadar sayılıyor.

Resim 7: Sümerler döneminde çoğunlukla yapıldığı düşünülen elle sayma şekli günümüzden farklılık gösterdiği düşünülüyor, Resim Kaynak: Ktwop

Bu 5 defa tekrar edildiğinde de 60 a yani bir büyük birime tamamlamış olunuyor.

Çivi yazısının bulunmasıyla beraber kullanılan sayılar da değişikliğe uğradı. Kullanılan çivi yazısı sembollerinde tüm sayıları belirtmek için 2 tane sembol kullanılıyordu. Bunlar 1 ve 10 u belirtmek için kullanılan sembollerdi.

Resim 8: Sümerlerde çivi yazısının bulunmasıyla sayılar için kullanılan işaretler değişti. Yeni sayı sisteminde temel olarak 2 işaret mevcuttu.

Bu iki işaretle oluşturulan sayı sisteminde bazı sayılar şu şekilde gösterilebilir;

Resim 9 : Çivi yazısı sonrasında Sümerler sonrasında da Babilliler tarafından kullanılan sayılar. Resim kaynak: Pinterest

Sümerlerden kalan mirasla beraber Babilliler 60 lık sistemde benzer işaretler kullandılar Babillilerin oluşturduğu sayı sisteminde sayının başta ortada veya sonda olması bir anlam ifade ediyordu. Buna basamak değeri diyoruz.

Resim 10: Babillilerin kullandığı basamak değeri gösterimi, Resim Kaynağı: Kendim ama şuradan esinlenildi: basic-mathematics

Babilliler basamakların karışmaması için basamakların arasına boşluk bırakmışlar.

Resim 11: Basamak değeri için araya boşluk koyulsa da, bu problemleri tamamen çözemeyebilir.

Burada oluşan sıkıntılardan birisi 2 ile 61 in karışması. Bu ciddi bir sıkıntı çünkü 61 çuval buğday vergi ödeyen birisi, yazan Sümerli memurun dikkatsizliği veya okuyan Sümerli bir diğer memurun dikkatsizliği veya kötü niyeti sebebiyle bu 2 olarak yorumlanıp kalan 59 çuval buğday için ciddi bir bedel ödetilebilir[1].

Sonrasında Babilliler boşluk yerine sadece bir ikame nesnesi olarak kullanılmak üzere 0 ı icad ettiler.

Resim 12: Babilliler tarafından bulunan 0 ın ikame nesnesi olarak kullanımı Resim Kaynak: Kendim

Ve çok ilginç bir şekilde Babilliler 60 lık sistemde bugün virgülden sonrası aritmetiği dediğimiz hesaplamaları da yaptılar. Resim 13 te günümüzde bu hesaplamayı nasıl yaptığımızı anlatmaya çalıştım.

Resim 13: 60 lık sistemde virgülden sonrası aritmetiğinin temel olarak anlatımı

Babilliler bunu şu şekilde yaptılar.

Resim 14: Babilliler tarafından yapılan 60 lık sistemde virgülden sonrası aritmetiğinin temel olarak anlatımı

Peki Sümerlerde ve Babillilerde 10 luk sayı sistemi yok muydu? Saymayı bugün bizim parmaklarımızla yaptığımız gibi yapan insanlar varsa tabi ki vardı. Parmakla sayma düzeyinde bu sayı sistemlerinin gelişmesi çok doğal süreçler. Ancak çivi yazısı sonrası bu sayı sembollerinin ve Babilliler zamanında basamak değerlerinin oluşturulması tamamen bilinçli olarak yapılan önemli yeniliklerdir ve bunlar 60 lık sistemde gerçekleşmiştir. Dolayısıyla bu medeniyetlerin sayı sistemi üzerine konuşurken 60 lık sistem ön plana çıkıyor.

Bu sayı sistemlerinin tarih öncesi dönemlerde ne zaman ortaya çıktığı ile ilgili çalışmalar da toplulukların kullandıkları dil üzerine yapılan analizler yol gösterici olabiliyor. Örneğin almanca ve ingilizcede aynı anlama gelen benzer iki kelimenin aynı antik kökten geliyor olması ile, tamamen tamamen farklı köklerden geliyor yani farklılaşmış olması, veya tarihte bu kelimenin kaç defa farklılaşmış olduğu kelimenin ne kadar eski olduğuyla ilgili ipucu veriyor. Benzer analiz sayılarda kullanıldığındaysa eski insanlar arasında en sık kullanılan 1 ile 5 arasındaki sayıların çok az değişime uğradığı ve 10–100.000 yıllık tarihi olduğu düşünülüyor [2].

İlk sayı sistemlerinin tam olarak nasıl oluştuğu muallak olsa da, kullanılan sistemleri temel olarak anlatmaya çalıştık. Bu dönem ile ilgilenen araştırmacılar çoğu konuda anlaşamıyor olsalar da çoğunluğun hemfikir olduğu şeylerden birisi kullanılan sayı sisteminin gelişmişliğinin direk olarak o medeniyetin gelişmişliği ile orantılı olduğu. Eski avcı toplayıcı toplulukların çoğunda 3 veya 4 e kadar sayı bulunmakla beraber bunun üzerini biraz ve çok kelimeleriyle gösteriliyordu. Dünya üzerine yaşamış 33 avcı toplayıcı topluluk üzerine toplanan antropolojik verilerle yapılan bir çalışmada da sayı sistemleri 3,4 e kadar basit olan toplulukların daha az eşyaya sahip olduğu, daha karmaşık sayma sistemine sahip olan toplulukların her zaman daha fazla eşyaya sahip olduğu gösterilmiş [2]. Yapılan bir çok araştırmada da sayı sistemlerinin ilk olarak parmakla saymayla başladığı düşünülüyor. Parmakla sayma şekline göre (5 lik 10 luk veya 12 lik 60 lık) sayı sistemleri doğal olarak oluşuyor. Parmakla saymanın ötesine geçebilmiş topluluklarda da genel olarak buna (eşyaları insanları saymak vs.) toplumsal ihtiyaçların ittiği gözlemleniyor [2].

KAYNAKLAR

1. Robert Snedden, Problem Solved!: The Great Breakthroughs in Mathematics
2. Colin Barras How did Neanderthals and other ancient humans learn to count? Nature 594, 22–25 (2021)
3. Yuval Noah Harari , Sapiens
4. Notes by Raffaella Petti, Numbers and Calculations with the Ancient Sumerians, Programme leonardo toi project pit.agora Mathematics Workshop.
5. Jöran Friberg, Three Thousand Years of Sexagesimal numbers in Mesapotamian Mathematical Texts, Archive for History of Exact Sciences,2019, 73:183-216
6. Marvin A. Powell Jr, The Origin of the Sexagesimal System: The Interaction of Language and Writing, Visible Language,1972, 5-18.
7. Chiara Gui, Sexagesimal System.