解構雷達基本方程式和常見雷達參數

2022.10.28 Hsinchu, Taiwan

雷達是日常生活中應用相當廣泛的技術，涵蓋了從汽車的倒車雷達、衛星氣象雷達，到軍用雷達等領域。這些技術都基於一個最基本的方程式 — 雷達基本方程式，這個方程式包含了雷達技術中最重要的幾個參數，發射訊號的功率、目標物的特性、接收訊號的功率等等。

雷達的運作原理

雷達的運作原理非常單純，由發射天線發射電磁波，電磁波打到目標物後會反射，再由裝置上的接收天線接收反射波，進而分析目標物的距離、方向、特性等等，如圖(一)

圖(一)：雷達原理簡化示意圖

雷達的架構主要可分為兩種:

(1). 單站雷達 (Monostatic Radar): 雷達共用一根天線接收和發射訊號，或是雷達的接收和發射天線彼此靠得很近。舉例來說，圖(一)的車用雷達就是一種單站雷達。

(2). 雙站雷達 (Bistatic Radar): 雷達的接收和發射天線距離很遠，比如應用在戰爭中的半主動雷達導引飛彈。發射飛彈的戰機配備發射天線，而飛彈頭則配置接收天線。因此由戰機探測敵人，再由飛彈追蹤。

本文雖然不會詳細地討論每種雷達的不同，只會介紹最概括的雷達方程，以及一些雷達系統中會出現的參數。為了方便理解距離與時間的關係，本文將以「脈衝雷達」為例解說 (前面例子的車用雷達採用連續波技術，但在原理上是相通的)。此外，本文我們只討論單站雷達，進階的雙站雷達我們會留到之後的文章介紹。

雷達方程

若將天線從發射電磁波到接收回波的流程拆開，我們可以把它分成三部分 (1).發射天線發射電磁波 (2). 電磁波碰到目標物反射 (3). 接收天線收到反射訊號。雷達基本方程式考慮了這三個部分的變數，並把電磁波的接收功率寫成發射功率和其他參數的函數。

在使用各向同性天線 (Isotropic Antenna) 的情況下， 天線會向四面八方發射訊號，並且訊號的發射功率為 Pₜ (單位是瓦 W)，那麼在距離發射天線 R 的點所收到的功率密度 Sᵢₛₒ (W/m²) 可以寫成式(一)

式(一)：距離全向天線距離 R 的功率密度

這是因為我們可以把天線想像成球體的圓心，而 R 則是球的半徑，由於電磁波往四面八方均勻輻射，那麼距離圓心 R 的點的功率密度就是 Pₜ 除以球體表面積。

圖(二)：以全向天線為中心向外輻射電磁波(實際上是球體而非圓形)

然而功率是很寶貴的資源，如果我們已經知道要朝哪個方向發射訊號，就應該要集中能量朝該方向發射，而不是朝向四面八方發射，這樣才能最大限度地利用功率。

我們曾在波束成形一文中介紹過，可以透過特殊設計讓天線具有方向性，也就是讓電磁波打向我們想要的方向。本文不會介紹波束成形具體的技術實踐，但是結論是，現在天線可以朝向目標物打，因此功率就不會這麼分散了，這樣的天線稱為有向天線。有向天線在特性方向上的功率密度與全像天線的比值，稱為發射天線增益 Gₜ，因此在考慮增益的情況下，真正能夠打到目標物的功率密度為式(二)，也就是式(一)乘上天線增益 Gₜ

式(二)：有向天線到達目標物的功率密度

式(二)的單位仍是(W/m²)，是功率密度。假設目標物的截面積大，就能收到比較多功率，假設面積小，則得到較少功率。因此，目標物的雷達截面積也要納入考慮。設目標物的雷達截面積為 σ，則目標物收到的功率 P_target 為

式(三)：目標物收到的功率

雷達截面積本質上代表了它反射了多少電磁波能量。舉例來說，隱形戰機的原理就是大幅減少雷達截面積 (不是實際上的物體尺寸，而是透過將波反射到別處或是用特殊的塗料來吸收能量，使得反射訊號變得很微弱)，使得其很難被探測到。

電磁波打到目標物後會反彈，因此可以把目標當成新的發射源，它會向四面八方發射它收到的電磁波，因此在距離目標物 R 的接收天線的功率密度式(四)為式(三)除以球體表面積（因為目前只考慮單站雷達，因此距離為R而非R’)

式(四)：接收天線收到的功率密度

現在反射的電磁波抵達接收天線，這時我們要考慮接收天線能夠接收多少能量。如果發射天線跟接收天線是同一個（單站雷達），或者兩者規格相同，那麼「有效面積」與「天線增益」之間並非毫無關聯，而是存在一個基於電磁波物理特性的嚴格換算關係。根據天線孔徑理論，有效面積 A_eff 可以表示為增益與波長的函數，如式(五)所示

式(五)：有效面積的公式

其中 λ 代表雷達波長。這個公式揭示了一個重要的物理意義：天線的增益 Gₜ 越高，其有效接收面積 A_eff 就越大，代表捕捉電磁波的能力越強。

為什麼我們需要這個轉換公式？因為在工程實務上，「有效面積」是一個比較抽象的概念，難以直接測量；相對地，「天線增益」是天線設計時的已知參數（例如 20dB 或 30dB）。因此，透過式(五)將 A_eff 替換為 Gₜ 的表示式，我們就能將雷達方程中原本難以取得的未知數，全部轉換為已知的系統設計參數。

因此，接收功率式(六)為式(四)乘以有效面積

式(六)：接收天線收到的電磁波功率

這就是雷達基本方程。注意接收功率與距離 R 的四次方成反比，也就是如果探測距離增加一倍，則發射功率要增加 16 倍，才能維持原本的訊號強度，這也是為什麼遠程雷達如此耗能。

基本參數

距離解析度 (Range Resolution): 距離解析度指的是，雷達能否分辨在同一條直線上，兩個靠得很近的物體。也就是說，對於兩個物體，我們究竟會在雷達上看到一個點 (解析度差) 還是兩個點 (解析度好)，示意圖如圖(三)所示

圖(三)：雷達探測兩個物體的示意圖

現在我們用訊號的角度來理解，假設雷達的發射天線發射一個電磁波後，接收天線收到的回波如圖(四)所示

圖(四)：接收天線收到的兩個回波

由於我們假設有兩個物體，因此雷達發射的脈衝波打到第一個物體後會產生反射波，對應到圖(四)的 τ₁，而一個脈衝波大部分能量會越過物體繼續前進，直到碰到第二個物體並產生第二個反射波，對應到圖(四)中的 τ₂。

由於圖(四)的時域清楚地顯示了兩個回波，雷達就知道有兩個物體。因此，若兩個物體相隔太近，就會造成這兩個波傳回來的時間太接近，導致他們疊在一起，這時候雷達就無法分辨兩者了。當然，我們在工程上無法強迫要偵測的物體距離夠遠，因此我們就必須從別的地方下手，增強距離解析度。

事實上，在脈衝雷達系統中，當發射天線發射一個脈衝訊號時，它並不會在一個無限短的時間內發射能量，而是會發射一段時間，這也是為什麼圖(四)當中的兩個回波都有一定寬度。那麼假設雷達發射一個脈衝寬度 (Pulse Width) 較長的訊號，會造成什麼事呢? 答案是兩個回波也會重疊，如圖(五)所示

圖(五)：回波重疊 (這裡的 Pulse 的高度只是為了展示回波重疊，不代表 Pulse 2 的能量比 Pulse 1 大)

因此，脈衝寬度也會影響距離解析度，而且脈衝寬度跟距離解析度成反比。脈衝寬度越窄，則距離解析度越小 (代表解析度越好)。假設兩個物體的距離為 Δr、脈衝寬度為 τ、電磁波傳播的速度為光速 c，那麼為了要分辨兩個物體，我們要避免圖(五)的情況發生，也就是說我們要避免第一個回波的尾跟第二個回波的頭重疊，兩個回波抵達接收天線的時間差應大於脈衝寬度

式(七)：回波抵達接收天線的時間差應大於脈衝寬度

因此針對脈衝訊號，根據式(七)可以得到解析度 Δr 的極限值，定義為距離解析度，如式(八)

式(八)：距離解析度

式(八)中的距離解析度 Δr 代表的是「兩個物體至少要隔多遠才能被雷達分辨出來」，因此 Δr 越小越好。一個訊號在時域越窄，在頻域就越寬，如圖(六)所示。因此，式(八)還可以寫成頻寬 B 的形式。

圖(六)：訊號在時域越寬，轉到頻域就越窄

角解析度 (Angular Resolution): 剛剛介紹的距離解析度是針對兩個方向相同，但是距離不同的物體，而角解析度則是針對兩個距離相同，但是方向不同的物體，也就是雷達分辨左右並排的能力。

雷達發出的波不是一條細細的線，而是一個有寬度的波束 (Beam)，如圖(七)所示。

圖(七)：雷達發射的波形是一個扇形

如果這個扇形波同時包含到兩個物體，就代表雷達無法分辨這兩個物體 (因為他們的回波會是同一個)，但是如果扇形波比較窄，就可以先掃到物體 A，再掃到物體 B，進而區分兩者。因此，角解析度越好，就代表波束越窄。當然，實際在工程上的扇形波束的邊緣並不是突然從有到無，而是漸漸變弱的。我們在圖(七)畫的波束範圍是默認為「半功率波束寬度 (Half-Power Beamwidth)」，意思就是功率下降到最大值的一半時，所涵蓋的範圍。

在圖(七)當中，往正前方發射的功率是最強的，隨著範圍往左右兩邊掃，功率就會減弱，而圖(七)的範圍就是功率剩下中間一半時的邊界。由於轉成分貝表示時，功率減半等於減少 3dB，因此這個波束寬度也稱為 3dB 波束寬度 (3dB Beamwidth)，如式(九)所示

式(九)：功率下降一半等於減少 3dB

回到正題，波束的寬度取決於發射波的波長 λ 以及天線的孔徑 D，其關係如式(十)所示

式(十)：3dB 波束寬度公式

式(十)中的70度角是經驗法則，方便快速估算用，實際上取決於不同的天線設計這個值會不一樣。其中孔徑 D 也是個很值得討論的題目，為了方便理解，這裡可以簡單地想像成天線的物理尺寸，我們會再以後介紹合成孔徑雷達時更詳細地解釋這個參數。式(十)推導是天線工程的範疇，因此本文不會介紹，但是可以理解成，波長越長、孔徑越小的天線，就會產生數值較大的角解析度 (解析能力變差)。

因此，我們希望可以降低波長，並增加孔徑大小。但是短波長高頻率的波比較容易衰減，因此我們雖然可以得到更好的解析度，但同時也會造成訊號容易受到各種狀況干擾 (比如在大雨中)。而如果我們轉而增加孔徑長度，又會造成天線的尺寸太大，我們不可能在戰機上裝一個好幾公尺的大天線。因此，工程師們的工作，就是想辦法在這些參數之間求得平衡點，做出一個符合規格要求又實用的雷達。

結語

本文從最基礎的雷達方程式出發，介紹了影響雷達性能的兩大關鍵指標：距離解析度與角解析度。理解這些基本原理後，我們就具備了看懂雷達規格的基礎。在未來的文章中，我們將進一步探討合成孔徑雷達 (SAR)、相位陣列雷達等進階技術，以及它們在現代科技中的各種應用。

# 圖(六)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_plot():
    # 1. Setup parameters
    fs = 1000           # Sampling frequency (Hz)
    T = 2.0             # Total duration (seconds)
    t = np.linspace(-T/2, T/2, int(T*fs), endpoint=False) # Time vector

    # 2. Define Gaussian function
    # A larger sigma results in a wider pulse in the time domain
    def gaussian_pulse(time, sigma):
        return np.exp(-time**2 / (2 * sigma**2))

    # 3. Generate two signals
    # Signal A: "Wide" in time domain (Large Sigma)
    sigma_wide = 0.1
    sig_wide = gaussian_pulse(t, sigma_wide)

    # Signal B: "Narrow" in time domain (Small Sigma)
    sigma_narrow = 0.02
    sig_narrow = gaussian_pulse(t, sigma_narrow)

    # 4. Compute Spectrum (FFT)
    # Use fftshift to center the zero frequency
    fft_wide = np.fft.fftshift(np.fft.fft(sig_wide))
    fft_narrow = np.fft.fftshift(np.fft.fft(sig_narrow))

    # Calculate frequency axis
    freqs = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(len(t), 1/fs))

    # Normalize magnitude for easier shape comparison
    mag_wide = np.abs(fft_wide)
    mag_wide /= np.max(mag_wide)

    mag_narrow = np.abs(fft_narrow)
    mag_narrow /= np.max(mag_narrow)

    # 5. Plotting
    fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 8))
    plt.subplots_adjust(hspace=0.4)

    # --- Row 1: Wide Time-Domain Signal ---
    # Time Domain
    axes[0, 0].plot(t, sig_wide, color='#1f77b4', linewidth=2)
    axes[0, 0].set_title(f'Time Domain (Wide Pulse)\nSigma = {sigma_wide}', fontsize=14, fontweight='bold')
    axes[0, 0].set_xlabel('Time (s)')
    axes[0, 0].set_ylabel('Amplitude')
    axes[0, 0].set_xlim(-0.5, 0.5)
    axes[0, 0].grid(True, alpha=0.3)

    # Frequency Domain
    axes[0, 1].plot(freqs, mag_wide, color='#ff7f0e', linewidth=2)
    axes[0, 1].set_title('Frequency Domain (Narrow Bandwidth)', fontsize=14, fontweight='bold')
    axes[0, 1].set_xlabel('Frequency (Hz)')
    axes[0, 1].set_ylabel('Norm. Amplitude')
    axes[0, 1].set_xlim(-20, 20) 
    axes[0, 1].grid(True, alpha=0.3)
    axes[0, 1].fill_between(freqs, mag_wide, color='#ff7f0e', alpha=0.3)

    # --- Row 2: Narrow Time-Domain Signal ---
    # Time Domain
    axes[1, 0].plot(t, sig_narrow, color='#1f77b4', linewidth=2)
    axes[1, 0].set_title(f'Time Domain (Narrow Pulse)\nSigma = {sigma_narrow}', fontsize=14, fontweight='bold')
    axes[1, 0].set_xlabel('Time (s)')
    axes[1, 0].set_ylabel('Amplitude')
    axes[1, 0].set_xlim(-0.5, 0.5)
    axes[1, 0].grid(True, alpha=0.3)

    # Frequency Domain
    axes[1, 1].plot(freqs, mag_narrow, color='#ff7f0e', linewidth=2)
    axes[1, 1].set_title('Frequency Domain (Wide Bandwidth)', fontsize=14, fontweight='bold')
    axes[1, 1].set_xlabel('Frequency (Hz)')
    axes[1, 1].set_ylabel('Norm. Amplitude')
    axes[1, 1].set_xlim(-20, 20) # Keeping same limit for comparison
    axes[1, 1].grid(True, alpha=0.3)
    axes[1, 1].fill_between(freqs, mag_narrow, color='#ff7f0e', alpha=0.3)

    plt.suptitle('Inverse Relationship: Time Duration vs. Bandwidth', fontsize=18)
    plt.savefig('time_vs_freq_comparison.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    generate_plot()

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