Lugar Geométrico das Raízes

Nas teorias de controle e de estabilidade, a análise das raízes é um método gráfico para examinar como as raízes de um sistema mudam com a variação de um determinado parâmetro do sistema. Essa é uma técnica usada como critério de estabilidade, que pode determinar a estabilidade do sistema.

Para os exemplos mostrados, será usado soluções da equação característica de alguns modelos de sistemas dinâmicos.

Sistema Massa-Amortecedor Variando c

O exemplo mostrado é a massa amortecedor. Para facilitar a análise, considerou-se a massa unitária.

As soluções da equação característica desse sistema são valores reais, para valores de c positivos. O resultado das raízes é que uma é um ponto constante e outra é o eixo real negativo, considerando vários valores possíveis para c.

Um resultado importante, é que já que as raízes são reais, o sistema nunca é oscilatório para diferentes valores de c.

Sistema Massa-Mola Variando k

O exemplo mostrado é a massa mola. Para facilitar a análise, considerou-se a massa unitária.

As soluções da equação característica desse sistema são raízes imaginárias puras e conjugadas, para valores de k positivos. O resultado das raízes é que uma se estende no eixo positivo do eixo imaginário e a outra se estende no eixo negativo do eixo imaginário, para diferentes valores de k.

Um resultado importante, é que já que as raízes são imaginárias, o sistema é oscilatório. Como as raízes são imaginárias puras, o sistema não tem perda de energia, logo não possuem amortecimento.

Sistema Massa-Mola-Amortecedor Variando c

O exemplo mostrado é a massa mola amortecedor. Para facilitar a análise, considerou-se a massa e a constante da mola unitária.

As soluções da equação característica desse sistema são raízes dependendo do intervalo de valores possíveis para c. No caso, para c = 0, a solução são duas raízes imaginárias puras. Para 0<c<2, a solução são duas raízes com um quarto de círculo no eixo real negativo. Por último, para c >2, temos uma raíz que varia entre -1 e 0 e outra raíz que vai de -1 até menos infinito.

O resultado depende dos valores de c. Se c = 0, o sistema é oscilatório sem perda de energia. Se 0<c<2, o sistema é amortecido. Se c>2, o sistema não é oscilatório.

Sistema Massa-Mola-Amortecedor Variando k

O exemplo mostrado é a massa mola amortecedor. Para facilitar a análise, considerou-se a massa e a constante de amortecimento unitária.

As soluções da equação característica desse sistema são raízes dependendo do intervalo de valores possíveis para k. No caso, para k = 0, a solução são duas raízes reais, 0 e -1. Para 0<k<¼ , a solução são dois intervalos de no eixo real. Uma das raízes está entre -1 e -½ e outra raíz está entre -½ e 0. Por fim, para k > ¼, as raízes são complexos que variam no eixo imaginário a partir do ponto -½. Uma das raízes se estende no eixo positivo complexo e a outra se estende no eixo negativo complexo.

O resultado depende dos valores de k. Se k = 0, o sistema não é oscilatório. Se 0<k<¼, o sistema também é não oscilatório. Se k>¼, o sistema é oscilatório, sem perdas de energia independente da variação de k.