¿Qué es una buena medida de dependencia? ¿Por qué Pearson no es suficiente y qué hacer al respecto?

Imagina que llevas años monitoreando la salud de un arrecife de coral y la población de peces que lo habita. Calculas la correlación entre ambas series y obtienes un número modesto — digamos, 0.2. Tu conclusión natural: casi independientes, podemos modelarlas por separado.

Luego llega un episodio de blanqueamiento severo. El coral colapsa. Y con él, en cuestión de meses, la población de peces se desploma: sin hábitat, sin refugio, sin sustrato para reproducirse. La correlación no lo predijo. No porque estuviera mal calculada, sino porque estaba midiendo algo diferente a lo que necesitabas medir.

Este es el problema de fondo de esta historia. No es un problema sobre qué fórmula usar — es un problema sobre qué significa realmente medir dependencia. Y resolverlo bien exige ir más despacio de lo habitual.

Primer problema: ¿qué queremos decir cuando decimos “dependencia”?

Antes de buscar una buena medida, hay que afinar la pregunta. Porque cuando decimos que dos variables “dependen” una de la otra, en realidad podemos estar diciendo cosas muy distintas.

Considera dos situaciones. En la primera, el coral y los peces tienden a crecer juntos en años buenos y a caer juntos en años malos — se mueven en la misma dirección la mayor parte del tiempo. En la segunda, la relación es más sutil: en condiciones normales hacen lo suyo de manera casi independiente, pero cuando el coral entra en colapso extremo, los peces colapsan también de manera inevitable y causal.

Ambas son formas de dependencia. Pero son estructuralmente distintas. La primera captura un comovimiento sistemático — lo que en estadística se llama concordancia. La segunda captura una estructura funcional que permanece latente la mayor parte del tiempo y solo se activa en los extremos.

Esta distinción es conceptualmente necesaria porque las dos cosas requieren herramientas distintas para ser detectadas. La concordancia pregunta: ¿tienden a subir y bajar juntas? La dependencia pregunta algo más profundo: ¿saber algo sobre una variable cambia lo que puedo esperar de la otra, y en qué condiciones?

El problema es que en la práctica se mezclan constantemente. Muchas herramientas populares — incluida la correlación lineal de Pearson — se usan como si midieran dependencia general, cuando en realidad capturan principalmente concordancia lineal. Y esa confusión tiene consecuencias reales: en el caso del coral y los peces, la concordancia en condiciones normales era baja, así que Pearson dijo “casi independientes”. Pero la dependencia en los extremos era total.

Segundo problema: ¿qué debería exigirle a una medida de dependencia?

Una vez que tenemos clara la distinción, surge una pregunta inevitable: si Pearson no mide dependencia en sentido general, ¿qué debería hacer una medida que sí lo haga?

Pensemos de nuevo en el coral. Supongamos que en lugar de medir su cobertura en metros cuadrados, la mides en porcentaje. O que en lugar de usar la abundancia bruta de peces, usas su logaritmo porque los datos tienen una distribución muy sesgada. Estas son decisiones de representación — transformaciones que preservan el orden de los datos pero cambian su escala.

Ahora la pregunta crítica: ¿debería cambiar nuestra medida de dependencia solo porque cambiamos la forma en que representamos las variables?

La respuesta intuitiva es no. Si el coral y los peces tienen una relación estructural — causal en los extremos — esa relación no desaparece porque yo decida medir el coral en porcentaje en lugar de metros cuadrados. La dependencia es una propiedad del sistema, no de las unidades que elijo para describirlo.

Esto nos lleva a una exigencia natural: una buena medida de dependencia debería sobrevivir intacta cuando transformamos las variables de maneras que preserven su orden — es decir, que no alteren quién es mayor que quién. Si el coral en metros cuadrados y el coral en porcentaje tienen exactamente el mismo ordenamiento de observaciones, la dependencia estructural con los peces no debería cambiar. Las transformaciones que hacen eso — preservar el orden sin alterar nada más — se llaman transformaciones monótonas crecientes, y son la manera de formalizar matemáticamente la idea de “cambiar la representación sin cambiar la estructura”.

Dicho en términos concretos: una medida de dependencia debería ser invariante ante transformaciones monótonas crecientes de las marginales. Si tu medida se mueve cuando cambias de escala sin cambiar la relación, entonces no estás midiendo la dependencia del sistema — estás midiendo una mezcla de dependencia y decisión de representación. Y eso, en datos reales donde los reescalamientos son inevitables, es un problema serio.

La siguiente figura ilustra esto con datos sintéticos con distribución lognormal, en la izquierda los valores en su escala normal, en la derecha en una escala logaritmica. La dependencia es la misma pero el valor de Pearson cambia.

Figura 1: datos con distribucion log-normal en una escala lineal y en una escala log-log. En ambos casos la dependencia entre las variables es la misma, y esto se debe ver reflejado en una buena medida de la dependencia.

Por qué Pearson falla en ese criterio

Con esa exigencia en la mano, el problema de Pearson se vuelve preciso.

La correlación lineal es invariante únicamente ante transformaciones lineales crecientes — multiplicar por una constante positiva, sumar una constante. Fuera de eso, se mueve. Si transformas tus variables con una función no lineal que preserve el orden — un logaritmo, una raíz cuadrada, una función sigmoide — la correlación de Pearson puede cambiar de manera sustancial aunque la estructura de dependencia subyacente sea exactamente la misma. Embrechts, McNeil y Straumann lo formulan directamente: las propiedades de cópula son invariantes ante transformaciones estrictamente crecientes, mientras que la correlación lineal puede ser engañosa y no debería tomarse como la medida canónica de dependencia.

Pero hay un segundo fallo, aún más revelador. Incluso si ignoráramos el problema de invarianza, Pearson puede anularse — dar exactamente cero — en presencia de dependencia real. Es posible construir situaciones donde dos variables están claramente relacionadas en su estructura conjunta, pero donde la correlación lineal es cero porque la dependencia es no lineal o está concentrada en las colas. Calsaverini y Vicente señalan explícitamente que puede elegirse una estructura de dependencia tal que la correlación lineal se anule aun cuando las variables no sean independientes. En el caso del coral y los peces: la dependencia que importa no está en el promedio del comovimiento, sino en lo que ocurre cuando el sistema entra en territorio extremo. Pearson promedia todo y, al hacerlo, lava exactamente lo que necesitábamos ver.

Vale aclarar que Pearson no es una herramienta mala en general. Cuando el fenómeno es esencialmente lineal y las distribuciones son aproximadamente gaussianas, funciona bien y tiene una interpretabilidad geométrica valiosa. El problema es usarlo como sinónimo de dependencia en sistemas donde esas condiciones no se cumplen — sistemas no lineales, con distribuciones raras, con colas pesadas. Que es exactamente la descripción de la mayoría de los sistemas complejos que nos interesan.

La separación que abre el camino: márgenes vs. estructura

Si Pearson falla porque mezcla la forma de las distribuciones individuales con la estructura de su relación, la solución natural es separar esas dos cosas explícitamente.

Pensemos en el coral y los peces de nuevo. Cada variable tiene su propio comportamiento individual: cómo varía el coral por sí solo a lo largo del tiempo, cómo varía la población de peces por sí sola. A eso lo llamamos las marginales. Y luego está la pregunta distinta: ¿cómo se relacionan entre sí? Esa es la estructura de dependencia.

Intuitivamente, son dos cosas independientes. Puedo imaginar el mismo tipo de relación entre coral y peces — la misma dependencia en los extremos — pero donde la distribución marginal del coral sea muy distinta: más simétrica, más sesgada, más concentrada. Cambiar la marginal no debería cambiar la dependencia. Y cambiar la dependencia no debería cambiar las marginales. Son dos capas distintas del mismo sistema.

Ahora bien, si esas dos capas son separables conceptualmente, ¿lo son también matemáticamente? La respuesta es sí, y el resultado que lo garantiza es el teorema de Sklar: bajo condiciones muy generales una distribución conjunta puede descomponerse en dos partes — las marginales de cada variable por separado, y una función que describe únicamente cómo se acoplan entre sí. Esa función de acoplamiento es lo que se llama cópula.

La cópula es, en ese sentido, la parte que queda cuando le quitas a la distribución conjunta todo lo que pertenece a las marginales. Es la estructura pura de la dependencia. Y como vive completamente separada de las marginales, es invariante ante cualquier transformación que afecte a las marginales individualmente — incluyendo, por supuesto, las transformaciones monótonas crecientes que exigíamos antes.

Lo que esto significa en la práctica es poderoso: puedes cambiar las marginales sin tocar la cópula, o cambiar la cópula manteniendo las marginales, y esos dos cambios significan cosas completamente distintas. Medir dependencia, entonces, pasa a ser medir propiedades de la cópula — no de las variables originales.

Lo que viene: aprender a leer esa estructura

Hasta aquí hemos construido la regla de juego: una buena medida de dependencia debe ser invariante, esa invarianza se logra trabajando con la estructura que permanece cuando separas las marginales, y el teorema de Sklar garantiza que esa separación siempre es posible.

Pero saber que la dependencia vive en esa estructura no es suficiente. Falta aprender a leerla. No como un objeto abstracto, sino como una geometría: qué regiones concentran la masa conjunta, cómo aparecen asimetrías, y por qué las colas pueden estar completamente acopladas aunque los promedios no lo sugieran.

Esa es exactamente la pregunta que abre la Historia 2: ¿Cómo se ve la dependencia cuando la miras directamente, sin el ruido de las marginales? ¿Y por qué en el caso del coral y los peces — y en tantos sistemas complejos — la dependencia que realmente importa no vive en el centro de la distribución sino en los extremos?

Bibliografía:

• Calsaverini, R. S., & Vicente, R. (2009). An information theoretic approach to statistical dependence: Copula information. Europhysics Letters, 88(68003). https://doi.org/10.1209/0295-5075/88/68003 IME-USP
• Nelsen, R. B. (2006). An introduction to copulas (2nd ed.). Springer. IME-USP
• Embrechts, P., Lindskog, F., & McNeil, A. (2003). Modelling dependence with copulas and applications to risk management. Handbook of heavy tailed distributions in finance, 8(1), 329–384.

Este artículo es de una serie que estaré publicando sobre sistemas complejos y análisis de datos, si te interesa saber ¿Cómo puedes hacer análisis de datos en sistemas complejos? ¡Has llegado al lugar correcto!

Juan C. Higuera C. (@JuanHig27819468) / Twitter JuanHigueraC (Juan C Higuera C) (github.com)

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