Estacionaridade: O Conceito Chave de Econometria de Séries Temporais

Para quem está começando a estudar econometria de séries temporais, com certeza já ouviu ou irá ouvir falar do conceito de estacionaridade. Entender este conceito é essencial para sabermos se estamos lidando com dados “estáveis” ao longo do tempo ou se eles possuem uma tendência que pode atrapalhar as previsões do nosso modelo.

Aqui, vamos explicar de forma simples o que é estacionaridade, discutir os testes mais comuns para verificar a presença de raiz unitária (indicador de não-estacionaridade) e, apresentar exemplos que facilitam o entendimento.

O que é estacionaridade?

Uma série temporal é dita estacionária quando suas propriedades estatísticas (como média e variância) são constantes ao longo do tempo.

Em outras palavras, os dados não devem apresentar tendência ou mudanças sazonais. Isso é importante porque modelos preditivos funcionam melhor quando aplicados a séries estacionárias, garantindo que as previsões se baseiem em uma estrutura consistente.

Como identificar se uma série é estacionária?

Existem duas abordagens principais para identificar a estacionaridade:

1. Visualização Gráfica: Muitas vezes, ao observar o gráfico da série, é possível perceber se ela possui uma tendência ou um comportamento cíclico.

Gráfico 1 — Exemplo de série não-estacionária — Série anual da taxa de inflação norte-americana (1948–1996)

2. Testes Estatísticos: Testes de raiz unitária, como o Teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) e o Teste de Phillips-Perron (PP), são amplamente utilizados para determinar a estacionaridade. Neste texto iremos abordar o teste mais comum: o teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF).

Caracterização de Processos Estacionários e Não-Estacionários

1. Processos estocásticos não-estacionários: Um processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias ordenadas no tempo, que podem ser ou não estacionárias. Conforme visto no gráfico 1, nota-se que a série não possui um padrão que tende à voltar à sua média (reversão à média). A reversão à média é uma característica de alguns processos estocásticos em que a variável tende a retornar a uma média ou valor de equilíbrio ao longo do tempo. Em outras palavras, mesmo que a variável se desvie significativamente para cima ou para baixo, ela tende a “voltar” ao seu nível médio. Uma série não-estacionária pode tornar-se estacionária pela diferenciação da mesma, isto é, subtraindo o valor de uma observação pelo valor da observação anterior.

Supondo uma série Yt:

2. Processos estocásticos estacionários: Um exemplo clássico de processo estocástico estacionário é o processo autorregressivo de primeira ordem, conhecido como AR(1). Esse processo é frequentemente utilizado em séries temporais e modelagem econômica para representar variáveis que tendem a oscilar em torno de uma média fixa, sem apresentar tendências de longo prazo.

O processo AR(1) é definido pela seguinte fórmula:

Para que o processo AR(1) seja estacionário, é necessário que o valor absoluto de ρ seja menor que 1 (ou seja, −1 < ρ < 1). Isso significa que cada valor Yt​ depende linearmente do valor anterior Yt-1​​, mas o peso dessa dependência diminui ao longo do tempo devido à restrição em ρ.

Se | ρ | < 1 → série estacionária Se | ρ | = 1 → série não-estacionária Se | ρ | > 1 → série não estacionária e explosiva

Exemplos Algébricos de Séries Estacionárias e Não-Estacionárias:

1. Série Não-Estacionária:

Suponha a série:

onde ​et é um erro aleatório. Essa série possui uma tendência dependente do valor passado (a autocorrelação é alta), pois ρ = 1, o que indica não-estacionaridade.

2. Série Estacionária:

Agora considere a série:

Nesse caso, a média e a variância não variam ao longo do tempo e a dependência do termo anterior é menor, pois ρ < 1, o que indica a estacionaridade da série.

Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)

O Teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) é um dos métodos mais comuns para verificar a presença de raiz unitária. Esse teste se baseia na seguinte equação:

Hipóteses do teste:

O teste ADF examina a hipótese nula de que existe uma raiz unitária (a série é não estacionária). Se o valor λ não é estatisticamente diferente de zero, a série é considerada não estacionária.

Aplicação do Teste ADF

Vamos aplicar o Teste ADF para a série de inflação norte-americana mostrada no gráfico 1. Para este caso, estou utilizando o dataset “phillips” disponibilizado no material complementar do livro “Introductory Econometrics: A Modern Approach”, de Jeffrey M. Wooldridge.

Teste ADF aplicado para a série “inf” — GRETL output

Neste caso, o parâmetro que testa a hipótese nula é o rho (ρ), onde o teste de hipóteses a ser feito será:

Hipótese nula: ρ = 1 → série não-estacionária Hipótese alternativa: ρ < 1 → série estacionária

→ Neste caso, podemos observar que os p-valores estimados para os três testes (sem constante, com constante e com constante e tendência), são altos — indicando que os parâmetros estimados não são estatísticamente significativos aos níveis usuais de 1%, 5% e 10%. Deste modo, aceitamos a hipótese nula de que a série é não-estacionária.

Agora que já testamos a condição de não-estacionaridade da série, podemos estacionarizá-la acrescentando a primeira diferença:

Primeira diferença da variável inflação (inf)

Após a aplicação da primeira diferença na variável inflação, aplica-se o teste ADF novamente para verificar a estacionaridade da série:

Teste ADF aplicado para a série “d_inf” — GRETL output

Note agora que, com a variável diferenciada, o teste ADF retornou p-valores estatísticamente significantes à 1% (p-valor < 0,01) — deste modo, rejeitando-se a hipótese nula de que a série é não estacionária e possui raiz unitária.

Observando gráficamente as duas séries, podemos notar que a série diferenciada atende ao princípio de reversão à média:

Conclusão

Ao longo deste texto, abordamos um dos conceitos chave de séries temporais: a estacionaridade e o teste de raiz unitária (Teste de Dickey-Fuller Aumentado). Sem estacionaridade, as previsões e inferências de um modelo podem ser distorcidas, pois as características da série mudam ao longo do tempo, dificultando a identificação de padrões consistentes.

Bibliografia

WOOLDRIDGE, Jeffrey M.. Introdução à Econometria: Uma Abordagem Moderna. São Paulo: CENGAGE Learning, 2006.