O ESTATUTO EPISTEMOLÓGICO DA LÓGICA CONTEMPORÂNEA: um estudo de caso da lógica paraconsistente.

I. Introdução

O intuito do presente trabalho é apresentar o que vamos definir como Lógica Paraconsistente e avaliar em que medida o espírito desse projeto é compatível com o que Lakatos denominou de quasi-empirísmo na filosofia da matemática. O campo que será discutido é o campo da lógica e da filosofia da lógica1. Provisoriamente, defino que lógica paraconsistente é uma forma de lógica que tornam válidas contradições. A pertinência desse projeto, seus objetivos e sua história, serão tema de estudo aqui. Ademais, as reflexões de Lakatos sobre matemática serão expostas na forma como são tratadas em seus textos, para então serem deslocadas da reflexão sobre matemática para uma reflexão sobre a lógica. A tese central desse trabalho é de que a lógica paraconsistente pode compreendida e definida como um sistema quasi-empírico, nos termos de Lakatos. Para sua defesa, é mobilizado tanto textos de história da lógica quanto textos de lógicos da área expondo sua concepção própria do que estão fazendo enquanto constroem sistemas de linguagem formal. Por fim, serão avaliadas as consequências que se seguem das conclusões estabelecidas ao decorrer do texto.

II. Lakatos e o quasi-empirismo

Em seu artigo dedicado ao tema do quasi-empirismo, A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics, Imre Lakatos se debruça numa investigação que planeja revelar o crescente deslocamento de posições, entre os grandes matemáticos e teóricos da matemática, em direção a uma posição mais crítica a respeito dos fundamentos dessa disciplina que por tanto tempo foi tomada como a raiz da certeza em todas as ciências. Apesar do foco de seu projeto ser direcionado à matemática (assim como o projeto complementar Provas e Refutações), as menções à Lógica e aos grandes lógicos do século XX são parte estruturante do conteúdo do texto. No entanto, cabe-se entender o que o filósofo húngaro designa por “quasi-empirismo” para entender como isso pode ser relevante dentro de um contexto de filosofia da lógica.

Dentre as razões que motivaram Lakatos a escrever um artigo sobre filosofia da matemática, é aparente seu objetivo de antagonizar com uma visão mais heretodoxa e “standard” que permeia o pensamento a respeito tanto da matemática quanto da lógica. Essa ideia se funda na oposição entre o mundo falível e mutável das ciências e o campo infalível, imutável e a priori da matemática2. A estrutura teórica que subjaz a essa percepção é designada por euclidiana. Uma teoria euclidiana é um sistema que possui um conjunto de axiomas indubitáveis no topo que, por dedução, garante a verdade de todas as consequências lógicas que derivam dele. Em poucas palavras, há um fluxo operando nesse modelo de teoria onde a base de verdade se concentra no topo, e flui “para baixo” nas demais inferências e consequências do projeto.

Em sentido contrário, o modelo quasi-empírico é próprio das ciências naturais, centrado nos fatos e experimentos; do ponto de vista popperiano, é o modelo das conjecturas e refutações — onde toda teoria é falível e está disponível a ser falseada. O que define essas teorias também é um sistema de fluxos, só que em sentido oposto: o valor de verdade se concentra no fundo, nas consequências da teoria em relação aos fatos, e o que flui para cima não é tanto a confirmação, mas sim a falsidade de um teorema. Em suma, o sistema Euclidiano transmite a verdade de um conjunto de axiomas “para baixo” em relação ao resto do sistema, e o sistema quasi-empírico a retransmite falsidade de constatações teóricas errôneas “para cima” em direção à “hipótese” ou conjectura3.

Vale ressaltar que a base de um sistema quasi-empírico não precisam ser fatos observáveis num sentido meramente empírico — como pode ser o caso em ciências naturais. Não é sobre o que flui, mas como flui que importa. Isso é digno de nota porque, no caso da matemática, geralmente não existe uma referência direta da experiência observacional sobre a verdade própria do modelo matemático4. Mantendo-se em suas raízes popperianas, Lakatos chama de falseamentos a estrutura que serve de base de verdade para teorias quasi-empíricas. É no sentido próprio de “falsificadores potenciais”[potential falsifiers] e “constatações básicas” [basic statements] que nasce a possibilidade de chamar uma ciência não-empírica como a matemática de um projeto quasi-empírico. Nas ciências naturais, falsificadores podem ser simples constatações de situações singulares. Por exemplo: se uma teoria X prevê um resultado Y, se organizam um experimento onde se simulam as condições nas quais esse resultado pode ser encontrado; caso o resultado seja diferente do previsto, isso quer dizer que há um problema na teoria X e ela precisa ser reformulada. Essa é a figuração popperiana mais básica. No entanto, não é comum que existam, na matemática, situações onde uma mera observação possa servir de falseamento, dado a natureza abstrata do projeto.

Essa particularidade da matemática estimulou Lakatos a nomear outras formas de falsificadores com uma estrutura mais peculiar. Um método tradicional na lógica e matemática é o uso de falsificadores potenciais lógicos: em suma, quando uma teoria leva à forma p & ⌐ p — ou seja, uma contradição. Um exemplo clássico desse caso é o Paradoxo de Russell. No começo do século XX, a produção teórica sobre a até então recente teoria dos conjuntos estava a todo vapor. Um dos princípios “auto-evidentes” dessa teoria era o enunciado pelo filósofo e matemático Gottlob Fregue de que toda propriedade determinava conjunto. Nesse contexto, Russell demonstrou que era possível designar uma propriedade que fazia com que um elemento de um conjunto estivesse e não estivesse contido nele ao mesmo tempo — ou seja, ele demonstrou que a formulação até então contemporânea da teoria dos conjuntos levava à contradição.

Pode-se entender que esse é um modelo tradicional de “refutação” ou falseamento dentro da filosofia da matemática e da lógica. Sim, há um fluxo ascendente de falsidade, mas isso pode ser interpretado como má formulação dos axiomas e definições — não desafia tanto a concepção Euclidiana. Todavia, se compreendermos que uma teoria formal deve ser a formalização de uma teoria informal, então uma teoria formal pode ser “refutada” se um de seus teoremas é negado pela teoria informal correspondente, podemos pensar em um novo tipo de falseamento5. A esse processo Lakatos denominou falsificador heurístico de uma teoria formal6. Cabe pontuar que esse método de falseamento não é exato nem elimina a vagueza: ele não falsifica completamente a hipótese, mas apenas sugere uma falsificação — e sugestões podem ser ignoradas7. No entanto, falsificadores heurísticos cumprem a função crucial de estimular o desenvolvimento de uma estrutura teórica, deslocando, de maneira sutil, problemas, suscitando a produção de novos teoremas mais ricos, mesmo que os existentes não tenham nenhuma contradição em seu nível estrutural. É possível argumentar que muitas mudanças na história da matemática não aconteceram por refutações diretas, mas por questões de uso prático, ou porque uma teoria possuía um potencial explicativo mais expansivo que sua rival.

Por fim, as teorias com fluxo de verdade quasi-empírico designadas por Lakatos (ciências naturais e matemática) precisariam ser tomadas sempre de um ponto de vista crítico e ciente de sua condição falível. É contra o ponto de vista que entende especialmente a matemática como disciplina infalível que o filósofo húngaro constrói seu projeto, pois entende que, no lugar de dar força às proposições matemáticas, essa concepção leva à estagnação e à falta de criatividade científica. Nesse contexto, a consciência de falsificadores, tanto os lógicos como os mais sutis heurísticos, é importante no processo de crescimento do conhecimento matemático. Progresso este cheio de artimanhas e táticas, que ele irá examinar a fundo em seu livro Provas e Refutações: A Lógica do Descobrimento Matemático.

III. Lógica Paraconsistente

O que é a lógica paraconsistente? Tema obscuro para a maioria dos leitores, um esclarecimento sobre o significado e relevância dessa lógica parece o ponto de partida necessário para qualquer trabalho que lide com ele. Em termos gerais, podemos definir paraconsistência simplesmente como um modelo de lógica que aceita a presença de contradições; no entanto, para o objetivo do texto, cabe uma explicação mais detalhada de seu significado. Na Obra Para Além das Colunas de Hércules, Uma História da Paraconsistência, constrói-se um retrato geral do desenvolvimento desse projeto levando em conta a pluralidade e importância dessa forma não-clássica de lógica — que possui germes desde o nascimento da filosofia na Grécia antiga até sua consolidação no século XX. Com base nesse livro, pode-se afirmar que o desenvolvimento da paraconsistência foi suscitado por uma grande questão dentro da lógica clássica, o ex falso sequitur quodlibet8. Dentro da lógica clássica, caso um argumento tenha como premissa uma contradição, não importa o que esteja designado na conclusão, o argumento é sempre válido. Ora, isso acontece por conta da definição clássica de validade: caso não haja nenhuma situação que faça com que todas as premissas sejam verdadeiras, e a conclusão seja falsa, a inferência é válida9. Como não é possível, na lógica clássica, que ao mesmo tempo uma premissa e sua negação sejam falsas, toda inferência contraditória é válida10. Uma inferência desse tipo é chamada de trivial, porque dela se segue qualquer conclusão arbitrária; sua validade é por vacuidade, e não muito útil para qualquer forma de conhecimento. Desse modo, uma lógica que permitisse indistintamente a ocorrência de contradições em seu sistema é chamada de inconsistente, e toda teoria que a usa como base é tida como completamente trivial.

Essa é a convenção standard pela que se entende a contradição na maioria dos sistemas lógicos tradicionais. Diante disso, uma teoria é paraconsistente quando é possível a existência de uma contradição, sejam designadas A e ⌐A, sem que isso acarrete sua trivialização11. A lógica paraconsistente é uma lógica que subjaz uma teoria inconsistente não-trivial. Ou seja, em uma lógica paraconsistente não vale o princípio ex falso da lógica clássica: é possível a presença de contradições sem que delas se siga qualquer conclusão arbitrária. Antes de mais nada, é preciso ressaltar que não existe “A Lógica Paraconsistente” enquanto monólito, mas sim muitas lógicas paraconsistentes — na verdade, infinitas. Ao longo da história da lógica, existiram muitos autores que, preocupados com a anomalia completamente contra intuitiva que representava o ex falso, construíram lógicas que podem ser classificadas como paraconsistentes. Dentre esses lógicos posso mencionar Stanisław Jaśkowski, Graham Priest e Newton da Costa.

Apesar de ter uma história que pode ser traçada, em seus germes, desde a Grécia antiga, a paraconsistência só foi ganhar seu nome no decorrer do século XX, com o intuito de designar o projeto inciado pelo lógico brasileiro Newton da Costa. Stricto sensu, a paraconsistência designa uma teoria onde o ex falso não só é restrito, como não vale em geral, como é o caso da família de lógicas paraconsistentes Cn desenvolvida por Newton da Costa. Ademais, uma das grandes preocupações de Newton era construir uma lógica onde a fórmula ⌐(A & ⌐A), também conhecido como princípio da não contradição, não fosse válido. Sem entrar nos pormenores dos sistemas Cn, o presente texto irá por em relevo o projeto paraconsistente dacostiano em relação aos outros, especialmente em suas motivações, com o objetivo de elucidar de que forma é possível interpretar o empreendimento paraconsistente dentro do escopo dos sistemas quasi-empíricos.

IV. Breve história da paraconsistência.

Ayda Ignês Arruda foi uma lógica e matemática brasileira que, assim como Newton da Costa, contribuiu para o desenvolvimento da lógica paraconsistente e ganhou reconhecimento mundial. Em seu breve artigo A Survey of Paraconsistent Logic, ela sumariza aspectos históricos, lógicos e filosóficos do desenvolvimento e construção desses modelos não-clássicos. Para entender a intuição que inspirou o desenvolvimento desse modelo de lógica, podemos partir de algumas definições e pistas desenvolvidas por Arruda nesse artigo. Teoria é definido como um sistema proposicional fechado sob as regras de uma lógica L. Paradoxo formal é definido como a derivação, em uma teoria T, da verdade de dois teoremas sob a fórmula de A e ⌐A; ou seja, uma contradição12. Antinomia formal é a prova metalógica que T é trivial13. Nesse contexto, teorias paradoxais podem ter importância, por não necessariamente triviais; enquanto teorias antinômicas geralmente são descartadas. Diante desse contexto, pode-se questionar: toda contradição acarreta em trivialização? Devemos rejeitar toda contradição? Ou existem contradições reais?

Nesse contexto, entra o que Arruda denomina tese de Hegel ou tese de Heráclito: Existem contradições verdadeiras14. Essa maneira de pensar é tradicionalmente chamada de dialética, o pensamento dialético de filósofos como Hegel e Marx foi seriamente considerado por lógicos paraconsistentes. Arruda chega a dizer que “A tese de Hegel só pode ser defendida com ajuda de uma lógica paraconsistente”15. Da Costa termina seu livro Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica com a citação de Hegel, em latim, legitimando seu empreendimento: Contradictio est regula veri, non contradictio falsi16. Diante dessa tese, o que para lógica clássica seria entendido como uma mera antinomia, como o paradoxo de Russell, pode ser entendido pela lógica paraconsistente como um paradoxo verdadeiro sem comprometer ou trivializar o sistema. Essa situação parece indicar um certo relativismo no campo da lógica17, que será tratada posteriormente nesse texto.

Apesar da grande referência à Hegel e à Heráclito, outros grandes nomes do canon tradicional filosófico e de filósofos contemporâneos dão suporte à essa tese. O lógico polonês Łukasiewicz foi um dos pioneiros a questionar a validade absoluta do princípio da não-contradição dentro da lógica aristotélica. Na verdade, ele tinha a intenção de demonstrar que haviam situações, admitidas pelo próprio filósofo estagirita, onde não valeria o princípio da não-contradição18. Essas situações estavam relacionadas ao problema dos futuros contingentes. Geralmente, se admite que algo é o caso, ou que não é o caso, sem intermediários (princípio do terceiro excluído). No entanto, como lidar com situações indeterminadas? Como por exemplo, “o primeiro papa do século vinte e dois será chinês”19; essa frase não é nem verdadeira, nem falsa. Dessa reflexão sobre Aristóteles nasceu o sistema formal polivalente Ł320, onde uma sentença pode ser verdadeira, falsa ou indeterminada. Nesse sistema, cunhado para tratar de futuros contingentes, não vale o princípio da não contradição ⌐(A & ⌐A); no entanto, o ex falso ainda é válido. Łukasiewicz foi um precursor importante da paraconsistência, mas não criou um sistema formal paraconsistente.

O lógico polonês Stanisław Jaśkowski foi o primeiro a construir um sistema de cálculo proposicional paraconsistente, seguindo a sugestão de Łukasiewicz (a quem foi contemporâneo)21. Ele chamou seu sistema de lógica discursiva [discursive logic], com o intuito de resolver diversos problemas22: 1) O problema de organizar dedutivamente teorias que contém contradições: como é o caso de teorias dialéticas como as de Heráclito, Hegel e Marx23. 2) Estudar teorias onde ocorre contradição causada pela vagueza: o problema da vagueza está associado com o uso cotidiano de termos sem demarcação sólida; por exemplo, quando alguém deixa de ser baixo e passa a ser alto? Deixa de ser magro e passa a ser gordo? Não existe uma medida exata para essa convenção social; existe então um momento onde a pessoa é alta e baixa ao mesmo tempo?24 3) Com o objetivo de estudar diretamente algumas teorias empíricas cujos postulados ou suposições básicas são contraditórias; por exemplo: na história da ciência, ocorre momentos em que resultados de experimentos não são conseguem ser explicados por uma teoria coerente e homogênea, mas por duas hipóteses que nem sempre são consistentes entre si; como é o caso de teorias, mesmo na física contemporânea, que acertam algumas previsões, mas falham em outras (um exemplo histórico clássico é o debate entre teoria ondulatória e teoria corpuscular da luz, que coexistiram e tinham razões sólidas para tanto — que depois de séculos foram justificadas pela teoria unificadora da luz enquanto onda-partícula)25. Além da preocupação com teorias científicas, Jaśkowski também se preocupava com a presença de enunciados contraditórios na linguagem ordinária, onde são quase inevitáveis26.

Apesar de S. Jaśkowski ter construído um cálculo proposicional paraconsistente, é atribuído a Newton da Costa o papel de fundador da lógica paraconsistente27. Em seu Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica (p. 237), as duas primeiras condições de sua lógica paraconsistente são: “O princípio da contradição, ⌐(A & ⌐A), não deve ser válido” e “De duas fórmulas contraditórias, A e ⌐A, não deve ser possível, em geral, deduzir uma fórmula arbitrária”. As particularidades do projeto de da Costa residem no fato de ele ter desenvolvido uma família de sistemas de lógica paraconsistente, tanto para lógica proposicional quanto para lógica de predicados (chamada de Cn; N. C. A. da Costa criou na verdade uma infinitude possível de sistemas formais, o que em si faz com que seu projeto seja consideravelmente adaptável e abrangente), e até mesmo ter desenvolvido aplicações paraconsistentes em teoria dos conjuntos. Podemos diferenciar os projetos em duas categorias: Lógicas paraconsistentes fortes somente subjazem teorias paraconsistentes (poderíamos encaixar o cálculo proposicional D2 de Jaśkowski aqui); Lógicas paraconsistentes fracas são lógicas que podem subjazer não apenas teorias paraconsistentes, mas também teorias consistentes — é o caso do projeto do Newton da Costa. O que é particular do projeto dacostiano é a presença de duas negações: ⌐inconsistente e ⌐consistente; uma mesma teoria poderia ser tomada como consistente em relação a uma e inconsistente em relação à outra. O grande objeto de crítica é a suposta obviedade da negação. O que significa dizer que uma coisa é negação de outra? Que ⌐A nega A? Ora, isso não é dado, evidente ou trivial28. Nesse contexto, não só a lógica paraconsistente, como também a lógica intuicionista surgem como desafios à concepção clássica de negação. No caso de Cn, o sentido da negação é tomado em sua ambiguidade.

Ainda nos trilhos do texto de Ayda Arruda, podemos pontuas algumas motivações e objetivos que cumpre a construção de uma lógica paraconsistente dentro no modelo do Newton da Costa29: 1) Estudar os paradoxos lógicos e semânticos — no lugar evitar contradições, podemos tomá-las como potencialmente verdadeiras sem trivializar uma teoria somente com o uso de uma lógica paraconsistente. 2) Fundamentar uma teoria paraconsistente. Por exemplo, o lógico austríaco Alexius Meinong desenvolveu, nas primeiras décadas do século XX, uma teoria para objetos ficcionais, tomando esses por objetos não-existentes. No entanto, é de certo modo contraditória a ideia que é possível construir sentenças verdadeiras sobre objetos não-existentes30. 3) Estudar princípios da teoria dos conjuntos e lógica de predicados. 4) Entender melhor o conceito de negação: geralmente entendemos negação em sua significação mais simples, como “essa caneta aqui não é azul”; podemos abrir espaço para novos entendimentos dessa operação, e para isso um sistema formal pode cumprir um papel essencial.

Por fim, cabe pontuar que hoje em dia a lógica paraconsistente é um campo em ascensão. Dentre seus desenvolvimentos teóricos, ela é amplamente utilizada na formalização de lógicas dialéticas31. O próprio Newton entendia que estava seguindo os passos de Hegel, ou ao menos ajudando a esclarecer aspectos da lógica dialética (sem pretensão de esgotá-la). Entre filósofos mais contemporâneos, o lógico e dialético inglês Graham Priest foi um dos que mais empreenderam uma investigação filosófica da paraconsistência. Em seu livro In Contradiction, Priest planeja demonstrar a existência de contradições reais, ou Dialetéias, seja dentro de sistemas formais ou na realidade in concreto. Mesmo caso discorde do projeto dialeteísta de Priest, é inegável que a lógica paraconsistente possui uma grande gama de usos e opera como uma boa ferramenta no arsenal teórico das lógicas contemporâneas. Sob certo ponto de vista, podemos entender que a paraconsistência foi e sem sido, para a lógica, tão revolucionária quando a criação de geometrias não-Euclidianas foram para a geometria.

V. Pluralismo lógico e quasi-empirísmo.

Em seu livro Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica, o lógico brasileiro Newton da Costa propõe expor a sua visão do papel da lógica dentro o programa mais amplo do conhecimento humano. Desse modo, ele expõe uma concepção própria chamada lógica dialética, e a define nesses termos:

“1. Para ela, o lógico e o racional nunca se identificam. O exercício da razão pode se dar através de sistemas lógico-matemático distintos, sistemas esses suscetíveis de diferir entre si pela incorporação ou não de alguns princípios centrais da chamada lógica tradicional; 2. A razão não é auto-suficiente: o sistema lógico que espelha seu exercício depende da experiência, variando de conformidade com os tipos de objetos aos quais se aplica. Mais precisamente, parte da lógica é alicerçada nas interconexões entre razão e experiência. Isso significa, noutras palavras, que a experiência contribui para legitimar as normas racionais; 3. Não há uma única lógica. Em princípio, existem várias, todas lícitas do ponto de vista racional. A escolha dentre elas, no contexto da ciência ou de um corpo de doutrina particular, faz-se mais ou menos como o físico escolhe a geometria que melhor se adapta às suas pesquisas, dentre as diversas geometrias matematicamente possíveis.” (DA COSTA, Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica, p. 17–18).

Esse entendimento é contraposto à concepção “dogmática” da lógica. Esta é, em poucas palavras, uma concepção que se sustenta na ideia de que a lógica nada mais faz que transcrever as leis autoevidentes da razão. Esta é a concepção mais tradicional e difundida, mas que não é capaz de conter a ampla variedade de lógicas que, em sua raiz, negam os princípios da lógica clássica. Em suma, é uma espécie de embate entre monismo e pluralismo dentro do campo da lógica.

Nesse contexto, cabe lembrar a distinção que Lakatos faz, no seio da matemática, entre sistema Euclidiano e quasi-empírico. O sistema euclidiano se sustentava em axiomas que em si próprios continham o princípio de sua verdade — seja por serem autoevidentes ou alcançados por indução. O fluxo de verdade desses princípios era descendente: eles não dependiam da experiência, em si eram capazes de legitimar as verdades que dele se seguiam. Ademais, percebiam a matemática como um monólito. Todas essas características são exatamente as que Newton da Costa se utiliza para descrever o lógico dogmático. Assim, a comparação que Ayda Arruda faz, que toma a lógica paraconsistente como análoga ao projeto não-euclidiano, não poderia ser mais oportuna. Está em jogo, de fato, um dialogo com a concepção euclidiana e tradicional, herdada da Grécia antiga, que opera tanto na matemática quanto na lógica.

O sistema quasi-empírico, todavia, era caracterizado por um fluxo de falsidade ascendente. Nele as hipóteses no topo não eram indubitáveis, mas conjecturais e passíveis de crítica (como o ponto 1 do trecho selecionado no Ensaio). Os princípios de uma disciplina como matemática, por exemplo, estão integrados com a experiência e o emprego que se faz deles (Como no ponto 2). Por esse modelo ter qualidades críticas, o pluralismo e a presença de teorias rivais é estimulada e necessária — ela faz parte do jogo da ciência (como no ponto 3). Concluímos disso, portanto, que a concepção de Newton sobre lógica complementa a concepção de Lakatos sobre matemática. Mas disso não se segue, no entanto, que a lógica paraconsistente é um projeto quasi-empírico.

Em primeiro lugar, é questionável colocar a lógica como uma ciência. Geralmente ela é tomada como uma ferramenta (organon) das ciências, e não como uma ciência ela própria. Nessa égide, o papel da lógica enquanto ferramenta é oportuno comparado com a matemática. Para as ciências naturais, a matemática também opera como ferramenta que permite a criação de modelos, o que não a impede de ser tomada como disciplina em seus próprios méritos. Não é a toa que o Newton da Costa fala, a respeito da pluralidade dos sistemas lógicos, que “A escolha dentre elas, no contexto da ciência ou de um corpo de doutrina particular, faz-se mais ou menos como o físico escolhe a geometria que melhor se adapta às suas pesquisas, dentre as diversas geometrias matematicamente possíveis”. A lógica possui desenvolvimentos próprios que não são irrelevantes32, como foi exposto no segmento anterior do texto. Por fim, seja a lógica apenas uma ciência ou não, ela é uma ferramenta que está em pleno desenvolvimento e cujo avanço deve ser estudado.

Então, cabe a questão principal de que não existe um sistema quasi-empírico sem que haja possibilidade de falseamento. Nesse contexto, por incrível que pareça, o falsificador lógico não cumpre qualquer função — até porque é a própria lógica que o define. Creio, na verdade, que os falsificadores heurísticos são a principal força motor do desenvolvimento lógico. Geralmente, uma linguagem formal é completa, fechada em si mesma. Não é possível acontecer que, por exemplo, um uso científico particular do modus ponens refute diretamente a lógica proposicional clássica. No entanto, um uso informal da linguagem pode indicar a inadequação de um sistema formal, caso ele não consiga captar o sentido do que está sendo dito. Por exemplo, a física quântica possui enunciados que operam dentro de princípios de incerteza; não é possível afirmar, como faz a lógica clássica, que algo ou é ou não é o caso de modo preciso. Essa situação não invalida a lógica tradicional (creio que quem correu o risco de serem invalidadas foram as observações por não baterem com seus princípios); mas são indícios de que o sistema lógico tradicional é inadequado para aquele tipo de objeto. Na exposição do texto, foi explicado como Łukasiewicz sentiu a necessidade de modificar a lógica clássica para se adaptar à objetos de um futuro contingente; como Jaśkowski acreditava que o princípio da não-contradição e o ex-falso não eram relevantes para tratar do desenvolvimento científico concreto e do discurso ordinário; e como Newton da Costa acreditou que era preciso uma nova lógica para tratar da verdade de paradoxos. Em todos esses casos, os lógicos tem em mente um tipo de discurso informal à ser formalizado. A definição de falsificador heurístico é a negação de uma linguagem formal por sua contraparte informal. No caso da lógica, isso tradicionalmente se dá por contra-exemplos que soam absurdos ao senso comum, ou situações onde argumentos que geralmente entendemos como válidos são tidos por inválidos33. A ideia central, na lógica contemporânea, é a de captar o sentido do discurso em uma linguagem formal.

VI. Conclusão

A lógica paraconsistente nasce da ideia de que, no uso prático da razão e da linguagem, fazemos usos de enunciados contraditórios sem que isso comprometa a totalidade de nossas operações racionais. Ela se desenvolveu para mostrar que em ciência, e em especial disciplinas como teoria dos conjuntos, um estudo especializado da contradição aparece como desenvolvimento científico nessa área. Nesse contexto, desvincular a lógica de seu uso não é válido. Seguindo o fio condutor apontado por Lakatos, procurou-se integrar a lógica no campo mais amplo das ciências e do conhecimento humano. É um projeto quasi-empírico, porque ela também deve estar disponível para críticas, para desenvolvimentos e mudanças, caso seja necessário. O século XX arrancou dois solos imóveis do conhecimento: a matemática e a lógica. Nesse contexto, a situação que nos encontramos se assemelha com a descrição que o filósofo austríaco Otto Neurath faz do desenvolvimento das ciências, conhecida como Parábola da balsa. Imagine um navio em pleno movimento. Ele enquanto ele navega na imensidão do oceano, suas partes se quebram. Ele precisa ser concertado durante a navegação, pois não há qualquer indício de terra firme por perto, e não se sabe quando se chegará em uma. Agora imagine que isso aconteceu sucessivas vezes. Assim, para o navio não afundar, sua tripulação constantemente o repara e o renova enquanto ele navega sem nunca parar. É essa imagem que essa situação evoca, porque, desprovidos da certeza da lógica e da matemática, somos como os tripulantes desse navio que não enxerga terra firme por perto pra fundamentar todas as ciências, mas que continua navegando. Enfim, trabalhar disciplinas de um ponto de vista crítico sempre foi o “programa de pesquisa” principal de Lakatos: nesse contexto, nada mais natural que incluir a lógica nisso.

VII. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GOMES, EVANDRO LUÍS. Para além das Colunas de Hércules, uma história da paraconsistência: de Heráclito à Newton da Costa. Evandro Luís Gomes, Itala M. Loffredo D’Ottaviano — Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2017.

Arruda, A. I. (1980). A survey of Paraconsistent Logic (). Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 1–41. doi:10.1016/s0049–237x(09)70477-x.

Priest, Graham. An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is. Segunda edição. Nova York: Cambrige University Press, 2008.

___. An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is. Segunda edição. Nova York: Cambrige University Press, 2008.

___. Logic, A Very Short Introduction. Segunda edição. Oxford: Oxford University Press, 2017.

____. In Contradiction: A Study of the Transconsistent. Segunda edição. Oxford: Oxford University Press, 2007.

Costa, Newton Carneiro Afonso da. Ensaio sobre os fundamentos da lógica. São Paulo, SP: HUCITEC: Editora da Universidade de São Paulo, 1980.

Imre, Lakatos. A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics. British Journal for the Philosophy of Science, Vol 27 (1976), p. 201–223.

___. Provas e Refutações: A Lógica do Descobrimento Matemático. Organizado e traduzido por: John Worrall e Elie Zahar. Rio de Janeiro: Editora Zahar, 1978.

1Enquanto a lógica é uma disciplina de produção sistemas de linguagem formal dos mais diversos, filosofia da lógica reflete sobre as consequências propriamente filosóficas, sejam epistemológicas ou metafísicas, do que está em jogo em sua construção. O estudo sobre os fundamentos da lógica é, sobretudo, filosofia da lógica.

2LAKATOS, A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematic, p. 201. Em especial, é mencionada em uma nota de rodapé o filósofo e positivista lógico Alfred Jules Ayer. Curiosamente, é comum que filósofos empiristas, como é o caso de muitos membros do círculo de Viena, reservem para a matemática um espaço de certeza e de não-remissão à fatos da experiência, com a justificativa desta ser puramente tautológica.

3Idem, p. 206. A lógica subjacente ao sistema euclidiano é um organon da prova, e ao sistema quasi-empírico a lógica é um organon do criticismo. Lakatos não dispensa notas de rodapé à Popper quando efetua essa distinção, marcando a raiz popperiana desse projeto.

4Objetos matemáticos, como um triângulo, tem suas propriedades atribuídas a objetos físicos meramente por analogia. Não existe um triângulo perfeito na natureza, nem um círculo perfeito; estas são construções matemáticas, no mundo empírico geralmente trabalhamos com aproximações.

5Idem, p 214. Paráfrase do texto.

6Como exemplo, Lakatos põe em questão em que medida uma teoria formal, como a teoria dos conjuntos, é capaz de nos auxiliar no entendimento da aritmética, por exemplo? Falsificadores heurísticos trabalham com contexto, com relevância, poder explicativo de uma teoria. Uma teoria pode funcionar bem internamente, mas não ajudar no progresso teórico de uma área. Pode ser que haja relação com a ideia dos programas de pesquisa “heuristicamente regressivos” expostos no projeto mais amplo de filosofia da ciência de Lakatos. Nesses programas de pesquisa, os programas de pesquisa perdem seu valor não por estarem estagnadas em sua produção teórica, enquanto um programa rival, que explica os mesmos fatos, está em desenvolvimento ativo e aumentando sua complexidade.

7Idem, p. 218.

8Do falso, tudo se segue.

9PRIEST, Logic: a very short introduction, p. 12.

10No capítulo dois do livro mencionado do lógico inglês Graham Priest, ele ilustra essa questão usando o argumento “A rainha é rica, a rainha não é rica, logo porcos podem voar”. A validade desse argumento é garantido pelo fato da rainha não poder ser, ao mesmo tempo, rica e não rica.

11GOMES, EVANDRO LUIS. Para além das Colunas de Hércules, p. 32–33.

12Um exemplo clássico de paradoxo de autorreferência, em linguagem informal, é o paradoxo do mentiroso: “Essa frase que eu estou falando é falsa”.

13ARRUDA, A Survey of Paraconsistent Logic, p. 3. Um exemplo dado de antinomia formal é Paradoxo de Russell, brevemente explicado acima.

14Idem, p.4.

15Ibidem.

16DA COSTA, Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica, p. 255.

17ARRUDA, A Survey of Paraconsistent Logic, p. 5.

18No Exemplo usado por Arruda, citando Łukasiewicz, está relacionado ao fato de que a estrutura do silogismo pode se manter no sistema aristotélico sem o auxílio do princípio da não-contradição. Não há tantas menções ao problema do futuro contingente. Não irei entrar em detalhes no argumento de Łukasiewicz e Arruda para interpretar Aristóteles dessa maneira, apesar do curioso comentário de Ayda Arruda que, em termos gerais, isso implicaria que Aristóteles é o primeiro lógico paraconsistente. Creio ser mais interessante para o meu trabalho a abordagem de Graham Priest sobre problema dos futuros contingentes ao comentar valores de verdade “gap”.

19PRIEST , An Introduction to Non-Classical Logic, p. 132. No capítulo em questão, ele se aprofunda no desenvolvimento de lógicas polivalentes.

20Esse é o primeiro sistema formal polivalente (An Introduction to Non-Classical Logic, p 139).

21ARRUDA, A Survey of Paraconsistent Logic, p. 9. Paráfrase do texto. O restante do parágrafo irá seguir a exposição efetuada por ela.

22Paráfrase de A. I. Arruda, ela usa como base o texto de Jaśkowski Propositional calculus for contradictory deductive systems, escrito em 1948 (originalmente em polonês).

23A escola de lógica polonesa foi uma das mais influentes do século XX e também uma das mais ricas. Vale mencionar que lógicos dessa escola como Jaśkowski viveram na polônia durante o regime comunista; pode não ser por coincidência que trabalhos valorizando a dialética e produzindo lógicas não clássicas fossem mais bem vistos. Em Para além das Colunas de Hércules (p. 367, nota 138) comenta como o lógico faz até uma menção ao “lider oficial dos filósofos do Partido Comunista Polonês” em seu texto original de 1948 que depois foi retirado; mostrando como o aparelho burocrático estatal da época tinha controle até mesmo nos periódicos de lógica.

24Esse é o campo de estudo próprio das lógicas fuzzy. Esse tipo de sistema formal surgiu posteriormente ao tema tratado para lidar com o problema da vagueza, que a lógica clássica não dava conta. Segundo Arruda, esse modelo de lógica não-clássica está intimamente associado com a lógica paraconsistente. Em uma entrevista anexada em Para além das Colunas de Hércules, Newton da Costa comenta que lógicas fuzzy tem crescente aplicação na programação de inteligências artificiais.

25Cabe notar que esse projeto se preocupa bastante em criar uma lógica que consiga estar em conjunto com teorias científicas ou filosóficas. A concepção stantard de teorias científicas, iniciada pelos positivistas lógicos, pretendia justificar a verdade da ciência pela formalização (em lógica clássica) de seus enunciados. Um tanto na linha desse projeto, o lógico polonês demonstra uma sensibilidade histórica quanto ao movimento da ciência, de suas falhas e de suas contradições. Nesse sentido, ele não se distancia muito da Metodologia dos Programas de Pesquisa de Lakatos, que também buscava, em uma forma de lógica da descoberta, dar conta das vaguezas e contradições intrínsecos ao movimento das ciências.

26GOMES, EVANDRO LUIS. Para além das Colunas de Hércules, p. 367. Um exemplo: É concebível a coexistência dos enunciados jurídicos “é ilegal matar uma pessoa” e “é legal matar uma pessoa em caso de legítima defesa”; é um exemplo simples, mas situações de contradições legais acontecem o tempo todo e é por conta deles que o papel do juiz é necessário.

27ARRUDA, A Survey of Paraconsistent Logic, p. 10. O projeto de da Costa começou em 1958, independentemente do de seu colega polonês, com o qual, no entanto, trocou cartas.

28GOMES, EVANDRO LUIS. Para além das Colunas de Hércules, p. 27. Prefácio de Décio Krause.

29ARRUDA, A Survey of Paraconsistent Logic, p.11.

30Por exemplo: É verdade que o personagem de quadrinhos Coringa mora em Gotham. Também é verdade que o Coringa e a cidade de Gotham existem dentro do universo fictício da DC. Como posso afirmar que o Coringa é um objeto não existente, se também é predicado do Coringa existir? É como se eu dissesse que ele existe e não existe ao mesmo tempo; é uma forma de contradição que precisa ser levada em conta.

31ARRUDA, A Survey of Paraconsistent Logic, p. 11.

32GOMES, EVANDRO LUIS. Para além das Colunas de Hércules, p. 650–1. Trata-se de uma entrevista com Newton da Costa. Nessa entrevista, ele responde que “hoje, a lógica está muito envolvida em questões de matemática e está obtendo resultados não triviais, matematicamente tão complexos quanto os resultados mais complexos em outros campos da matemática”.

33Um exemplo clássico são os Paradoxos da Implicação Material, que não são em si paradoxos, mas que tornam a implicação material clássica um projeto questionável. ⌐A ⱶ (A→B) é válido. Escrito assim, é completamente banal. Mas, colocado informalmente, isso quer dizer que é certo dizer que “Eu não moro na Bahia, logo se eu moro na Bahia então Deus existe”. As duas frases têm a mesma forma, mas exemplos da informalidade funcionam como testes para a lógica porque é neles que notamos se aquela escrita formal é ou não pertinente para a simbolização de nosso discurso e de nosso modo de conhecimento.