Application of Finite Element Method in Nuclear Reactor

Part 3 of 5 on RBL SPSF

Previous

Sebelumnya telah dibahas terkait Perpindahan Panas. Selanjutnya, akan dibahas terkait Finite Element Method (FEM).

Definition

FEM adalah salah satu metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan persamaan diferensial atau integral (Dixit, ?).

FEM didasari oleh ide dalam membangun objek kompleks yang terdiri dari satuan sederhana atau membagi objek kompleks menjadi satuan-satuan yang kecil dan mudah diolah (Liu, 2003).

FEM dapat diterapkan pada beberapa permasalahan seperti struktur, transfer panas, dan aliran fluida.

Boundary Conditions

Terdapat dua jenis syarat batas: Syarat Batas Esensial (SBE) dan Syarat Batas Natural (SBN). SBE mencukupi untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara lengkap. SBN berupa turunan waktu dengan suku-suku yang lebih tinggi dan tidak mencukupi untuk menyelesaikan persamaan diferensial, setidaknya membutuhkan satu SBE.

Bila terdapat persamaan diferensial 0 < x < L

Yang dapat diselesaikan secara lengkap bila:

• u(0) dan u(L) diketahui atau
• u(0) dan du/dx saat x = L diketahui

Linear Differential Equation

LDE dapat memiliki bentuk:

dengan u adalah vektor variabel utama permasalahan (fungsi koordinat) yang didekati dengan fungsi aproksimasi, L adalah operator operasional, dan q adalah vektor fungsi yang diketahui.

Terdapat dua formulasi populer FEM, yaitu Galerkin dan Ritz. Dalam Galerkin, variabel utama diaproksimasikan dengan suatu fungsi kontinu dalam elemen yang ditinjau. Saat u^e atau nilai hasil fungsi aproksimasi disubtitusikan, akan diperoleh residu R:

Idealnya R = 0 di manapun, yang berarti nilai hasil aproksimasi menjadi nilai sebenarnya. Dikarenakan sulit untuk memperoleh residu bernilai nol pada semua titik, maka yang dibuat nol adalah residual yang diberi bobot:

dengan w adalah fungsi bobot.

Untuk mengurangi kebutuhan pada diferensiabilitas fungsi aproksimasi, persamaan sebelumnya diintegralkan per bagian untuk mendistribusikan kembali orde turunan dalam w dan R. Dalam formulasi Galerkin, fungsi bobot dipilih memiliki bentuk yang sama dengan fungsi aproksimasi untuk u^e. Fungsi aproksimasi adalah suatu fungsi aljabar. Dengan demikian, biasanya:

Dengan [N] adalah matriks fungsi bentuk (shape functions) dan {U^{ne}} adalah derajat kebebasan dari nodal.

Jenis FEM

• Elemen (garis) 1D: Pegas, batang, pipa.
• Elemen (bidang) 2D: Membran, pelat, kulit.
• Elemen (ruang) 3D: Medan 3D, seperti temperatur, perpindahan panas, tegangan, aliran, kecepatan aliran.

Aplikasi FEM Pada Perpindahan Panas

Teorema Divergensi

Integral volume V dan permukaan S

Bila \overrightarrow{F} = g \overrightarrow{H}, maka:

Galerkin Method

Bila suatu fungsi f(x) sulit dibuat nol, maka dapat dibuat pembobotan sehingga integralnya menjadi nol:

Yang tidak lain adalah metoda variasi parameter.

Perambatan Panas

Persamaan transfer panas:

Persamaan di atas seperti persamaan Gauss dan Divergensi.

Hukum Fourier:

Persamaan ini juga mirip dengan hubungan energi potensial dan gaya konservatif.

Hukum Fourier di atas disubtitusikan ke persamaan transfer panas yang ada di atas, sehingga didapatkan persamaan transfer panas seperti berikut:

• Syarat Batas: nilai temperatur ditentukan pada S_1:

T_S adalah temperatur pada suatu permukaan.

• Syarat Batas: aliran panas ditentukan pada S_2:

Dengan q_S adalah aliran panas pada suatu permukaan. n adalah konstanta tak berdimensi.

• Syarat Batas: Konveksi pada S_3:

Dengan h adalah koefisien konveksi. T_e adalah temperatur pertukaran konveksi.

• Syarat Batas: Radiasi pada S_4:

dengan \sigma adalah konstanta Stefan Boltzmann, \varepsilon adalah koefisien emisivitas permukaan, \alpha adalah koefisien absorbsi permukaan.

• Untuk permasalahan transien, medan temperatur inisial sistem pada t = 0:

Diskritisasi Elemen Hingga

Domain volume V dibagi dalam elemen-elemen hingga yang terkoneksi pada noda-noda. Fungsi bentuk (shape function) N_i digunakan untuk interpolasi variabel yang dicari (temperatur T dalam kasus ini) dalam suatu elemen.

• Operator diferensial: Gradien, akan digunakan ketiga persamaan di atas:

Dengan {T} adalah vektor temperatur pada noda-noda. [N] adalah matriks fungsi bentuk. Dan [B] adalah matriks interpolasi gradien temperatur.

Elemen Segitiga: Kasus 2D

Distribusi temperatur dalam elemen

Dengan fungsi bentuk (interpolasi) linier

Harus terpenuhi syarat

dengan:

Dimana \delta adalah luas elemen:

Dengan Matriks konduktivitas:

Dan matriks diferensiasi temperatur:

Kebetulan untuk kasus ini [B] tidak bergantung posisi (x dan y) sehingga mudah dihitung

Vektor aliran panas

dengan fungsi bentuk

sehingga diperoleh

Matriks-matriks elemen dan vektor-vektor dihitung untuk semua elemen dalam suatu mesh dan disusun membentuk sistem persamaan global. Setelah itu, penggabungan hasil-hasil perhitungan sistem persamaan global ini akan menghasilkan temperatur-temperatur pada noda-noda.

Next

Selanjutnya, akan dilakukan simulasi menggunakan COMSOL yang menerapkan metode FEM untuk mendapatkan hasil dari perpindahan panas suatu reaktor nuklir — hal ini dapat terlihat dari perubahan fasanya — . Medium-nya dapat dilihat di sini.