貝氏定理應用

二項式分布與Beta 函數分析股市訊號判斷漲跌效應

「前一篇文章中，我們介紹了基礎機率理論與貝式定理，並透過簡單的投硬幣實驗來理解貝式定理的應用。在日常生活中，貝式定理是否真的能透過先驗機率、新證據、後驗機率，並將後驗機率再當作下一次的先驗，形成疊代循環，幫助我們建構模型以擬合生活經驗呢？」

股市交易蘊含龐大的金融資訊和交易資料，這些歷史數據便是我們所需的先驗機率來源。每日的即時交易提供了新的證據資料，而收盤結果則形成後驗機率。如此反覆疊代，使股市成為實現貝氏理論持續更新的理想場域。

我們來假設一個情境 ，希望能分析某一項參數對一檔股票上漲或下跌機率的影響。

例如我們想要交易一檔股票，每天收盤後根據「成交量是否異常放大」這個訊號，更新「明天上漲」的機率。

如果我們假設，某一檔股票其交易量異常放大，例如當日收盤時交易量多出五日平均交易量的30%，那麼隔日開盤時上漲的機率是多少?

假設根據以往的經驗，交易量放大，有一派人會覺得可能是多單放大，因此覺得看漲，但也有一派是覺得交易量放大也有可能是空單變多了，很有可能是看跌，因此看漲的人會說上漲機率 p=0.7，而看跌的人可能會覺得上漲機率只有 p=0.2。

依據二項式分布

其中 n 表示試驗次數，y 表示試驗成功次數，p 表示試驗成功的機率，以上述的例子來說，假設我們只檢驗一次即 n=1，覺得交易量放大是多單增加上漲的機率是 p=0.7 ，則試驗成功(上漲)的機率(y=1)分布單次試驗中

而試驗不成功(下跌)的機率(y=0)分布

意思就是成功1次的機率是0.7，成功0次的機率是0.3。

接著我們考慮三次的試驗，為簡化問題，我們假設三次交易量多出30%的條件訊號出現事件為獨立事件(現實中有可能會因為前一日放量而影響隔日的交易量)，而每次訊號出現後該檔股票上漲的機率皆為 p=0.7，代入二項式分布

這邊可以看出，對於訊號出現後看漲的三次試驗中，成功(上漲)0次到成功3次的機率分布為0.027、0.189、0.441、0.343 (機率總和為1)，也就是說在每次成功機率參數 p=0.7 的情況下，試驗三次下，一次都沒有成功的機率分布是最小的。

相反的，對於看空的人，試驗成功(上漲)的機率參數僅有 p=0.2，同樣帶入二項式分布可得

可以看出試驗三次，成功次數由0次到3次的機率分布變成0.512、0.384、0.096、0.008，與看漲機率參數 p=0.7，所得到的成功次數分布完全相反，一次都沒成功的機率最高，由此可知對於成交量放大訊號出現對於 p 這個參數的估值是多少，會影響後續整個後驗機率的走勢。

實際上 p 的估值範圍從 0 到 1之間是連續的，代表其數值是無限多種可能的，我們現在來思考是否能用貝氏推論來推論出合理的參數 p 值。

首先根據一開始的假設針對某一檔股票當日出現成交值量放大的訊號，對於其隔日會上漲的機率參數會有兩極的看法，因為 p 是介於0和1之間的實數，所以p的值出現在靠近0的一端與靠近1的一端其可能性較大，所以我們可以找一個可以描述這種現象或性質的分布機率密度函數(probability density function, PDF)，這裡我們採用Beta函數來做為PDF，其函數形式如下:

Beta函數的特性是可以使用α、β兩個參數量做調變，下圖可以看出參數調變後的函數變化

透過選擇 α=0.5 與 β=0.5下的Beta 函數，

作為先驗參數p的機率密度分布函數是合理的選擇，因此整個貝氏定理的推論變成決定先驗α、β，透過資料證據，得到後驗α、β的過程，對於連續無限多種假設可能性的貝氏定理可以寫成

這邊 P(Data|p)似然值估計可以直接帶入二項式分佈直接計算，但計算分母的積分，並不是很容易求得，這邊有利用一些前人研究的論文透過二項式分佈與Beta函數相似代換的關係直接推出參數α、β先驗與後驗之間的關係:

舉例來說，一開始

驗證資料是試驗1次(n=1)，結果不成功(y=0)，則

得到的後驗PDF變成

透過參數α、β先驗與後驗之間的關係，可以快速計算參數透過證據資料快速推論 p 值。

回到三次試驗的實驗，假設出現三次訊號，而出現隔日股票上漲的次數是2次，即 n=3，y=2 則可以得到:

得到後驗的PDF為

由圖形可以判斷極大值約在0.7和0.8之間，換句話說就是當出現訊號時，透過後驗機率，我們說上漲的機率約在0.7~0.8左右。

當然，一檔股票的上漲或下跌絕非單靠成交量的放大就能斷言，影響價格的因素可能非常多，也即存在多項假設。貝氏定理的優點在於可以透過疊代加入新的證據資料，更新判斷的後驗機率。我們或許可以針對多個互相獨立的假設，利用不同的資料加以驗證，取得各自的後驗機率，進而合併這些資訊來得到更為準確的整體後驗機率，這樣做或許能提高判斷訊號的精準度。

PS.

有關Beta函數參數α、β先驗與後驗之間的關係，其實是利用後驗二項式分布以及前驗Beta函數之間的共軛關係，所謂兩函數共軛關係指的是兩個函數的形式非常相似，差別在式子中正負號不同，因為後驗的二項式分布與前驗的Beta函數形式相近，當我們代入前驗的預設參數α、β後，可以觀察前驗與後驗的共軛關係，求得前後驗α、β(我們稱參數的解析解)，因此可省略計算貝氏定理分母的積分項，快速進行參數疊代計。

同樣有這樣可利用共軛關係求得參數的封閉解有前後驗是Gamma函數-Poisson分布，以及常態機率密度-常態分佈。