Veri Biliminde Benzerlik Ölçümü: Öklid Mesafesi ve Algoritmalardaki Rolü

Veri bilimi dünyasına adım attığınızda karşınıza çıkan en popüler kavramlardan ikisi kuşkusuz K-Nearest Neighbors (KNN) ve K-Means algoritmalarıdır. Biri “bana arkadaşını söyle, sana kim olduğunu söyleyeyim” mantığıyla sınıflandırma yaparken; diğeri karmaşık veri yığınları içindeki gizli grupları keşfetmemizi sağlar.

Peki, birbirinden bu kadar farklı amaçlara hizmet eden bu iki algoritmanın ortak bir kalbi olduğunu biliyor muydunuz? Evet, her ikisi de kararlarını verirken milattan önce 300’lü yıllarda yaşamış olan İskenderiyeli matematikçi Öklid’in miras bıraktığı o meşhur “mesafe” formülünü kullanıyor.

Bu yazıda, lise yıllarımızdan beri bildiğimiz iki nokta arasındaki en kısa mesafe formülünün, günümüzün karmaşık makine öğrenmesi problemlerini nasıl çözdüğünü inceleyeceğiz. Öklid uzaklığının matematiksel temellerinden başlayıp, KNN ve K-Means algoritmalarındaki kritik rollerine doğru bir yolculuğa çıkmaya hazır mısınız?

Öklid Uzaklığı Nedir? Öklid uzaklığı, en basit tanımıyla iki nokta arasındaki “kuş uçuşu” mesafedir. Geometrik olarak Pisagor teoremi üzerine kuruludur. Çoğumuz bunu iki boyutlu düzlemde öğrenmiş olsak da, veri biliminde onlarca hatta yüzlerce boyutu (özelliği) olan veri setlerinde noktaların birbirine ne kadar benzediğini ölçmek için kullanılır.

Yani her bir boyuttaki farkların karesini alıyor, topluyor ve sonucun karekökünü buluyoruz.

Neden Karelerini Alıyoruz?

Burada küçük bir parantez açmakta fayda var: Farkların karesini almamızın sebebi, uzaklığın negatif çıkmasını engellemek ve büyük farklara daha fazla “ceza” vermektir. Bu sayede koordinat düzleminde yön ne olursa olsun (sağa-sola veya yukarı-aşağı), gerçek mesafeyi her zaman pozitif bir değer olarak elde ederiz.

Peki, bu lise düzeyindeki matematik formülü büyük veri setlerini nasıl sınıflandırıyor? Aslında makine öğrenmesi algoritmalarının çoğu, verileri sayılara dökerek aralarındaki benzerlikleri anlamaya çalışır. İşte tam bu noktada Öklid mesafesi, iki verinin birbirine ne kadar “benzediğini” ölçen evrensel bir cetvel görevi görür. Bu yazıda, Öklid mesafesini kullanarak çalışan iki temel makine öğrenmesi algoritmasını inceleyecek ve bu basit formülün verileri nasıl anlamlı gruplara ayırdığını birlikte göreceğiz.

1. K-Nearest Neighbors (KNN): Komşuna Bak, Karar Ver

İlk inceleyeceğimiz algoritma olan KNN (K-En Yakın Komşu), bir denetimli öğrenme algoritmasıdır. Yani algoritmayı önce etiketlenmiş verilerle eğitiriz, ardından test verilerini bu bilgilere göre sınıflandırmasını bekleriz. KNN’in çalışma mantığı oldukça sezgiseldir: “Bana arkadaşını söyle, sana kim olduğunu söyleyeyim.”

Süreç şu şekilde işler:

• Sisteme yeni ve sınıfı belirsiz bir veri noktası dahil olduğunda, algoritma bu noktanın diğer tüm verilere olan Öklid uzaklığını hesaplar.
• Hesaplanan mesafeler en yakından en uzağa doğru sıralanır.
• Bizim belirlediğimiz bir “k” sayısı kadar (örneğin en yakın 3 veya 5 komşu) veri noktası seçilir.
• Yeni veri, bu en yakın komşuların çoğunluğu hangi sınıfa aitse o sınıfa atanır. Kısacası KNN için Öklid mesafesi, yeni bir verinin “kime benzediğini” bulmak için kullandığı en önemli araçtır.

K-Nearest Neighbors

2. K-Means: Verileri Kendi Haline Bırakın ve Gruplandırın

İnceleyeceğimiz ikinci algoritma olan K-Means, KNN’den oldukça farklı bir yaklaşıma sahiptir. K-Means, bir denetimsiz öğrenme (unsupervised) algoritmasıdır. Yani bu algoritmada verileri “eğitim” ve “test” olarak ikiye ayırmayız; çünkü elimizde verilerin hangi sınıfa ait olduğuna dair önceden belirlenmiş etiketler yoktur.

Peki, K-Means bu belirsizlik içinde verileri nasıl sınıflandırıyor? Cevap yine aynı: Öklid mesafesi. K-Means algoritmasında süreç şu adımlarla ilerler:

• K Sayısını Belirleme: İlk olarak verileri kaç farklı gruba ayırmak istediğimizi (k değeri) seçeriz.
• Merkezlerin Seçimi: Algoritma, veri seti içinden rastgele k tane noktayı “merkez” (centroid) olarak belirler.
• Öklid ile Sınıflandırma: Geri kalan tüm veriler, bu seçilen k noktasına olan uzaklıklarına göre incelenir. Her veri, kendisine Öklid mesafesiyle en yakın olan merkez noktasına atanır.
• Güncelleme ve Sonuç: Atamalar bittikten sonra merkez noktaları yeniden hesaplanır ve veriler en kararlı gruplar oluşana kadar bu döngüde sınıflandırılmaya devam eder.

Kısacası; KNN’de Öklid mesafesini “yeni gelen bir verinin kim olduğunu bulmak” için kullanırken, K-Means’te bu mesafeyi “elimizdeki karmaşık verileri benzerliklerine göre gruplara ayırmak” için kullanıyoruz.

K-means

Öklid Mesafesinin Gizli Kahramanı: Normalizasyon ve Standardizasyon

Öklid mesafesi formülünü uygularken dikkat etmemiz gereken çok kritik bir detay var: Özellik Ölçeklendirme. Öklid mesafesi, büyük sayısal değerlere sahip özelliklere daha fazla ağırlık verme eğilimindedir. Örneğin, bir veri setinde “Yıllık Gelir” (50.000 TL) ve “Yaş” (25) gibi iki farklı değişkenimiz olduğunu düşünelim. Öklid formülündeki kare alma işlemi sırasında, gelirdeki küçük bir değişim yaş farkını tamamen etkisiz hale getirecektir. Bu durum, algoritmamızın yanlış sonuçlar vermesine neden olur.

Bu sorunu çözmek için algoritmayı uygulamadan önce veri setimizi “ehlileştirmemiz” gerekir. Bunun için iki yaygın yöntem kullanırız:

1. Normalizasyon (Min-Max Scaling): Tüm verileri belirli bir aralığa (genellikle 0 ile 1 arası) sıkıştırırız. Böylece en büyük gelir de 1 olur, en büyük yaş da 1 olur. Hepsi aynı parkurda yarışır.
2. Standardizasyon (Z-Score Scaling): Verilerin ortalamasını 0, standart sapmasını 1 yapacak şekilde dönüştürürüz. Bu yöntem, verideki uç değerlerin (outliers) etkisini biraz daha dengeler.

Kısacası; Öklid mesafesinin düzgün çalışması ve her bir özelliğin algoritmada eşit söz hakkına sahip olması için, veri setinin “boyunu” eşitlemek yani standart bir ölçeğe getirmek şarttır.

Gördüğünüz gibi, lise yıllarımızda koordinat düzleminde iki nokta arasına cetvel koyup en kısa yolu bulmak için kullandığımız o basit Öklid formülü, bugün yapay zekanın ve büyük veri analitiğinin en temel yapı taşlarından biri.

İster yeni bir verinin hangi sınıfa ait olduğunu komşularına bakarak tahmin edelim (KNN), ister karmaşık ve devasa veri yığınlarını kendi içinde anlamlı gruplara ayıralım (K-Means); Öklid mesafesi bize verilerin birbirine ne kadar yakın ve benzer olduğunu söyleyen en güvenilir rehber olmaya devam ediyor. Tabii bu rehberin şaşmaması için normalizasyon gibi yöntemlerle verilerimize eşit davranmayı unutmamamız gerekiyor.

Matematiğin bu zamansız formülü, verinin karmaşıklığını sadeleştirerek bize yol göstermeye devam edecek.

Okuduğunuz için teşekkürler.

Hazırlayan: Nurgül YILDIZ

Daha fazlası için bizi takip edin.

Instagram: @hsdgelisim

LinkedIn: https://www.linkedin.com/company/hsdigu/