CAI(Customer Active Index)的秘密

最近在新公司打雜，看到公司用了RFM模型來觀察會員活躍狀況，但由於公司的會員經營狀況比較特別，會員的訪問(或是消費)週期都很長，導致RFM的模型無法有效判斷會員的活躍狀態。

我就想到在前公司做的CAI(Customer Active Index)，不就挺適合用來評估這種特殊形態的會員上嗎？畢竟CAI的時間窗口可不一定是死的，依照該公司的會員經營型態，可以直接用會員的生命週期當作動態時間窗口，就可以動態展現每個會員的差異了。

這樣講如果太抽象了，就讓我們來看一下CAI的公式吧：

什麼是CAI？

CAI其實就是「平均購買天數 」減掉「加權平均購買天數 」，再除以「平均購買天數」。看到這種分子和分母有相同變數的數學式，馬上就能聯想到這是一個可以化為百分位數的值，但是由於「平均購買天數 」減「加權平均購買天數 」不一定為正數，所以CAI就會是一個介於-1到+1的值(-100%~100%)。

那加權平均購買天數是怎麼來的呢？這是根據距離用戶最近一次購買和第一次購買之間，依照距今由近到遠的購買天數，給予由大到小的權重。比如說，一位會員總共買了3次東西，第一次購買和第二次購買中間相隔了10天，第二次購買和第三次購買中間相隔了5天，那1~2的權重就是1，2~3的權重就是2，依此類推。

CAI講完了，但好像沒什麼特別的呀。其實剛剛講的內容，有線索透漏出這個公式雖然簡單，但也隱藏了一些秘密。

秘密從這裡開始

接續權重的部分，所以雖然會員購買的時間軸是往前的，但是加權值的座標軸卻是往後的。到目前為止已經出現了幾個關鍵詞線索，指向的就是「卷積」(convolution)。卷積是什麼？公式定義如下：

這邊就不解釋數學符號的意義了，我們只要知道，卷積的核心概念就是： 「在一個時間窗口內，對函數值進行加權求和」。而在CAI中，如果我們定義使用者的購買時間為：

並定義權重核為：

根據卷積定義，若要將此核與 G 卷積，我們需要反轉核：

代回卷積的定義：

令 𝑖 = 𝑘 + 1，則：

這裡的 𝑤_(𝑛−𝑖)​就是 反轉核權重對應到第 𝑔_𝑖間隔 的權重。

而平均購買間隔用類似的概念處理(但權重都相等)，就會是：

把D和D_w帶回CAI的公式：

最後整理成：

從這個結果我們就可以理解CAI的秘密，其實就是離散卷積的一個應用。

說穿了也不是什麼秘密，只是個有趣的推導過程而已。

(本文為和AI討論與演算推導而得，如有錯誤煩請不吝指正。)